Радикалы колец эндоморфизмов некоторых классов абелевых групп без кручения

• Автор: Буданов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Общие свойства колен, эндоморфизмов абелевых групп и их радикалов

§1. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов

§2. Кольца обобщенных матриц и их идеалы

§3. Радикалы колец и их свойства

2 Сильно необратимые эндоморфизмы групп без кручения

§4. Сильно необратимые эндоморфизмы групп без кручения

§5. Сильно необратимые эндоморфизмы вполне разложимых

и сепарабельных групп

§6. Нильпотентность идеала сильно необратимых эндоморфизмов
3 Ниль-радикал и радикал Джекобсона колец, эндомофриз-мов абелевых групп
§7. Сепарабельные группы без кручения
§8. Вполне разложимые группы без кручения
Литература

Список обозначений
0 Ai — прямая сумма абелевых групп; ieF
Ai ® ... © Ап — (конечная) прямая сумма абелевых групп;
А В — тензорное произведение модулей;
Е(А) — кольцо эндоморфизмов абелевой группы А:
Q — поле или группа рациональных чисел;
Rn — кольцо всех (п х ?г)-матриц над кольцом R:
Soc G — псевдоцоколь абелевой группы G;
N — множество натуральных чисел;
Z — кольцо целых чисел; hp(a) — p-высота элемента а;
Ха{&)-, х{а) — характеристика элемента; а в группе без кручения А: i(a). t(a) — тип элемента а в группе без кручения А: г (А) - ранг группы А:
Q(G) — множество всех сильно необратимых эндоморфизмов группы
No(R) — сумма всех нильпотентных идеалов кольца R
P(R) — первичный радикал кольца R:
L(R) — радикал Левицкого кольца R:
N (R) — ниль-радикал кольца R.

Введение
Актуальность темы. Основной целью изучения алгебраических систем является построение соответствующей структурной теории. Иными словами — это сведение изучения рассматриваемых алгебраических структур к изучению структур, устроенных более «просто». Одной из конструкций, осуществляющих такое сведение, является радикал. Исторически, первым радикалом стал наибольший нильпотентный идеал ассоциативной конечномерной алгебры.
Первоначально целью изучения конечномерных алгебр над полем были построение и классификация алгебр над полями вещественных и комплексных чисел. В дальнейшем произошел переход от исследования конкретных структур, построенных специальным образом, к исследованию непосредственно алгебраических операций, определенных аксиоматически. Структурная теория конечномерных алгебр была построена к началу 20 века. Решающую роль при этом сыграл радикал — наибольший нильпотентный идеал.
Следующим этапом было распространение понятия радикала и соответствующих структурных теорем на кольца и алгебры, удовлетворяющие условиям максимальности и минимальности для идеалов. В то же время с ростом общности рассматриваемых структур росло число появляющихся вопросов, а набор известных методов исследования, применимых в общем случае, сокращался. В связи с этим в тридцатых-сороковых

Л. Пусть Л(Л) — сумма всех нилыютентных идеалов кольца Д. Если а — не предельный ординал, то положим Ма{К) — полный прообраз идеала ЛД./ЛЦ-ЦЛ)) при каноническом эпиморфизме Я —> Я/Ыа-г(Д). Если же а — предельный ординал, то Ма(Я) — и<а N@(11)
Следствие 3.6 [10]. Существует ординал А. для которого А/д(Л) = АС+1(Л). При этом АГд(Л) = Д(Л).
Идеал, состоящий из нильпотентных элементов, называется ниль-идеалом. Нетрудно видеть, что объединение возрастающей цепи ниль-идеалов кольца Я. является ниль-идеалом. Следовательно, в силу леммы Цорна, в кольце Л имеется максимальный ниль-идеал N. Если А — другой ниль-идеал кольца Я. то можно непосредственно убедиться в том, что N + А есть ниль-идеал кольца Я, содержащий N. что, ввиду максимальности N. влечет А С N. Значит, N — наибольший ниль-идеал кольца Я. Таким образом, в любом кольце имеется наибольший ниль-идеал.
Определение 3.7 [10]. Наибольший ниль-идеал кольца Л называется ниль-радикалом кольца Я. Ниль-радикал кольца Л будем обозначать А/(Д).
Каждый ниль-идеал кольца Л состоит из квазирегулярных элементов. Действительно, если г'1 = 0, для некоторого элемента г кольца Л, то МОЖНО непосредственно ВЫЧИСЛИТЬ; что (1 — г)(1 + г 4- г2 + ... + гп_1) = (1 + г + г2 + ... +гп-1)(1 — г) = 1. Следовательно, по теореме 3.2 Аг(Л) С Т(Л).
Идеал I кольца Л называется нильпотентным, если существует такое натуральное число п. что 1п ~ 0. Это равносильно тому, что хХ-2...х„ — 0 при любых Х. Х2- . хп £ /. Идеал Ь кольца Я называется локально нильпотентным, если каждое его конечное подмноже-