Теоретико-модельные свойства частично упорядоченных полигонов

• Автор: Первухин, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 92 с.

Содержание

Введение

1 Теоретико-модельные свойства плоских ЧУ-полигонов

1.1 Необходимые определения и предварительные сведения

1.1.1 Сведения из теории ЧУ-полигопов и теории моделей полигонов

1.1.2 Совершенные слева ЧУ-моноиды

1.2 Аксиоматизируемость классов плоских ЧУ-полигонов

1.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов

плоских ЧУ-полигонов

2 Теоретико-модельные свойства проективных и свободных

ЧУ-полигонов
2.1 Необходимые определения и предварительные сведения
2.2 Аксиоматизируемость классов проективных и свободных
ЧУ-полигонов
2.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов
проективных и свободных ЧУ-полигонов
3 Теоретико-модельные свойства регулярных ЧУ-полигонов
3.1 Необходимые определения и предварительные сведения
3.2 Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов
3.3 Полнота и модельная полнота класса регулярных ЧУ-полигонов
Список литературы
Введение

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, категоричность.
Понятие частично упорядоченного полигона возникло при изучении отображений между частично упорядоченными множествами (см. 118]). В . некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигоном над моноидом S или, просто, полигоном называется хмножество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если < S - частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом S, на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигопы исследовались такими авторами, как S.M. Fakhrud-din [27, 28], X. Shi [47, 48], Z. Liu [48|, F. Wang [48], S. Bulman-Fleming [19, 20, 25, 26, 48], V. Gould, L. Shaheen [35, 36], A. Golchin and P. Rezaci [31], S. Tajnia [50] и др
Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-полигонов послужили работы в области теории моделей полигонов Т.Г. Мустафина [1, 9, 10, 46], S. Bulman-Fleming [22], V. Gould [22, 30, 33, 32], J.B. Foun-

tain [29, 30], В. Poizat [46], A.A. Степановой [15, 16, 17], Е.В. Овчинниковой [12], М. Kilp [6, 39, 42], U. Knauer [40, 43, 44, 45], А.Н. Ряскипа [13], A.A. Иванова [38], П. Нормака [11], JT.A. Скорнякова [14], L.H. Tran [51] и др. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидами и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности. Аналогичные вопросы для ЧУ-нолигонов исследуются в данной работе.
В 1980-х годах S.M. Fakhruddin публикует две работы [27, 28|, посвященные тензорным произведениям и плоскостным свойствам в контексте ЧУ-моноидов, действующих на частично упорядоченных множествах. В частности, в этих работах вводится понятия плоского ЧУ-полигона. Позднее X. Shi в [47| были рассмотрены сильно плоские и слабо плоские ЧУ-полнгоны. Сильно плоский ЧУ-полигон можно определить как ЧУ-полигон, удовлетворяющий условиям (Р<) и (Е<), которые являются аналогами условий (Р) и (Е) для полигонов. V. Gould и S. Bulman-Fleming в работах [3, 22, 33, 34] дали описание моноидов с аксиоматизируемыми классами сильно плоских, слабо плоских, плоских полигонов и полигонов, удовлетворяющих условию (Р) и условию (Е). Подобные результаты для ЧУ-полигонов были получены нами (теоремы 1.33, 1.26, 1.27, 1.29, 1.31). V. Gould и L. Shaheen в [35] изучались аксиоматизируемые классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих некоторым более слабым, чем (/Э<) II (Е<) условиям. A.A. Степановой в [15] рассматривались вопросы полноты и модельной полноты класса сильно плоских полигонов. В данной работе нами показано (теорема 1.36), что для коммутативных ЧУ-моноидов полнота (модельная полнота, категоричность) класса сильно плоских ЧУ-полигонов эквивалентна тому, что ЧУ-моноид является частично упорядоченной

идемпотептом.
Пусть Б - моноид. Определим на Б отношение эквивалентности 77 (см. [7]) следующим образом:
а7~££ 5а = 5£ и = £5,
где з, £ € 5. Класс отношения 77 с представителем 1 обозначим '££,. Заметим, что множество 77х состоит в точности из обратимых элементов моноида 5 и является группой. Будем говорить, что моноид 5 локален, если 5 71 является идеалом.
Следствие 1.25. [3'/ Пусть Б - совершенный слева моноид. Тогда Б локален и для любых а,Ь £ Б
Ба = 56 <£=Ф аБ — ЬБ.