Геометрия гиперкомплексных многообразий

• Автор: Солдатенков, Андрей Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Гиперкомплексные структуры на многообразиях

1.2. Связность Обаты

1.3. НКТ-многообразия

1.4. Калибрации

Глава 2. Голономия связности Обаты на группе 577(3)

2.1. Голоморфное касательное расслоение и связность Обаты

2.2. Гиперкомплексные структуры на группах Ли

2.3. Голономия связности Обаты

Глава 3. Подмногообразия гиперкомплексных многообразий с голономией БЬ{п, Ы)
3.1. Пространство твисторов гиперкомплексного многообразия
3.2. Семейство калибраций на 5Х(п, Н)-многообразиях
3.3. Подмногообразия в 5Х(п, Н)-многообразиях
Глава 4. Голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях
4.1. Кватернионный комплекс Дольбо
4.2. Голоморфная лагранжева калибрация
4.3. Голоморфные лагранжевы расслоения на 5Т(гг, Н)-многообра-

4.4. Примеры лагранжевых расслоений
Литература

Введение
В данной работе изучаются некоторые вопросы теории гиперкомплекс-ных многообразий. Гиперкомплексное многообразие — это дифференцируемое многообразие с тремя комплексными структурами, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям. Обзор известных результатов о гиперком-плексных многообразиях можно найти в главе 1.
В главе 2 мы изучаем связность Обаты на одном из гиперкомплексных многообразий, построенных в работе Джойса [29]. Связность Обаты на ги-перкомплексном многообразии — это единственная связность без кручения, которая сохраняет гиперкомплексную структуру. Существование и единственность этой связности были доказаны Обатой [35]. Вопрос, который мы изучаем, состоит в том, чтобы найти группу голономии этой связности. Используя некоторые свойства тензора кривизны, мы доказываем, что представление голономии является неприводимым (предложение 2.3.6). Далее мы применяем классификацию неприводимых групп голономии из работы Меркулова и Швахофера [34], и доказываем, что голономия связности Обаты в рассматриваемом случае равна (71/(2,11) (теорема 2.3.8).
В главе 3 исследуются подмногообразия гиперкомплексных многообразий. Гиперкомплексная структура определяет семейство комплексных многообразий, называемое твисторным семейство. Это семейство параметризуется точками проективной прямой СИ'. Мы называем комплексную структуру из этого семейства общей, если соответствующая точка лежит в дополнение к некоторому счетному множеству. Основной результат этой главы (теорема 3.3.3) состоит в том, что для гиперкомплексного 51/(га, Н)-многообразия с НКТ-метрикой общее многообразие из твисторного семейства не содержит дивизоров, а все подмногообразия коразмерности два являются трианалити-ческими. Кроме того, без предположения о существовании НКТ-метрики, мы докажем, что в общем многообразии из твисторного семейства нет голоморф-
ных лагранжевых подмногообразий (теорема 3.3.5).
В главе 4 изучаются голоморфные лагранжевы расслоения на гиперком-плексных многообразиях. Голоморфные лагранжевы расслоения на гипер-кэлеровых многообразиях активно исследовались в последнее время (см., например, [45]). В то же время, это понятие имеет смысл и для более общих ги-перкомплексных 5Г(п, Ш1)-многообразий, но в этом случае оно гораздо меньше изучено. Основным результатом главы является теорема 4.3.3, утверждающая, что база голоморфного лагранжева расслоения, тотальное пространство которого допускает НКТ-метрику, является кэлеровым многообразием. Этот результат можно использовать для того, чтобы строить примеры гиперком-плексных многообразий, не допускающий НКТ-метрики. В конце главы мы строим такие примеры.
Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах [47, 48] в рецензируемых журналах, работа [49] принята к печати в рецензируемом журнале.
Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю М. Вербицкому, без внимания и настойчивости которого эта диссертация не могла быть написана. Работа была выполнена при поддержке фонда Д. Зимина “Династия” и лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений НИУ-ВШЭ (грант правительства РФ дог. 11.034.31.0023).

для всех У £ 01. Заметим, что связность Обаты сохраняет градуировку на д, следовательно при X, У е мы имеем К(Х,У)д 1 С дь Отметим, что образ Л(Х, У) должен быть нетривиален для некоторых X, У, иначе связность Обаты была бы плоской, что неверно в нашем случае. Нам понадобится следующее утверждение
Предложение 2.3.5. Группа голономии связности Обаты содержит элемент, действующий тождественно па до и умножающий д1 на ненулевой кватернион, не являющийся вещественным.
Доказательство. По теореме Амброза-Зингера (см. 1.2.2) алгебра Ли группы голономии содержит все эндоморфизмы Я(Х, У). Если X, У £ дь то эндоморфизм Я(Х, У) действует тривиально на до и сохраняет дь Напомним, что д1 одномерно над Н и порождено IV. Обозначим — ЩУ, ЛУДУ, У2 = 11(¥ДУ)¥, Уз = Я{¥, КШ)]У. Из первой части Леммы 2.3.4 следует, что подпространство, порожденное У]. У2 и Уз имеет размерность не меньше двух. В противном случае, мы бы получили У* = а,Уо, г — 1,2,3, для некоторых «г £ К и Уо £ дь Тогда по Лемме 2.3.4, (от + одТ — «г-ЮУо = О, следовательно У, = 0, значит связность плоская, что неверно. Подалгебра, порожденная эндоморфизмами К(Х, У), где X, У £ дь как минимум двумерная, что доказывает утверждение. □
Доказательство основной теоремы будет основано на следующем утверждении.
Предложение 2.3.6. Голономия связности Обаты на 311(3) неприводима.
Доказательство. Доказательство будет состоять из двух частей. Сначала мы докажем, что в касательном расслоении ТС нет левоинвариантных под-расслоений, сохраняемых группой голономии. Далее мы покажем, что там нет никаких подрасслоений, сохраняемых голономией.