Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений

• Автор: Шварцман, Осип Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

§1. О трансцендентной теории инвариантов

§2. Хорошие кристаллографические группы.

Появление групп отражений

§3. Основные результаты и комментарии

§4. Пример: эллиптическая кривая с инволюцией

Глава I. Фундаментальная группа пространства

орбит группы отражений

§1. Существенная фундаментальная группа

§2. Сильно односвязное пространство

Глава II. Комплексные кристаллографические группы
Кокстера (сссг-группы) и аффинные системы корней
Результаты и комментарии
§1. Комплексные кристаллографические
группы Кокстера (сссг-группы)
1.1. Комплексные кристаллографические группы
1.2. Сссг-группы
1.3. Конструкция неприводимой сссг-группы
1.4. Классификация (I)
1.5. Доказательство теоремы
1.6. Доказательство теоремы
§2. Аффинные системы корней
2.1. Системы корней
2.2. Аффинные системы корней

2.3. Специальные точки. Конструкция аффинной
системы корней 5(Н., р)
2.4. Базисы и камеры
2.5. Двойственная аффинная система корней
§3. Аффинные системы корней и сссг-группы
3.1. Сссг-группы т)
3.2. Изоморфизмы групп т) Зд
3.3. Доказательство теоремы
3.4. Доказательство теоремы 3.2 40 §4. Фундаментальные веса аффинных систем
корней и набор весов сссг-группы
4.1. Фундаментальные веса
4.2. Решетки и орбиты 43 Глава III. Теорема Шевалле для комплексных
кристаллографических групп
Результаты и комментарии
§1. Алгебраическая формулировка теоремы Шевалле
§2. Коциклы комплексных кристаллографических
групп Кокстера
2.1. Общие факты о коциклах
2.2. Линейные коциклы 4д
2.3. О строении сссг-группы
2.4. Нормальные коциклы сссг-групп
2.5. Вычисление группы четных коциклов Н„(ТУ, О*)

§3. Формулировка теоремы Шевалле и
её геометрическая интерпретация
§4. Доказательство теоремы 3.1.
Первый подготовительный этап
4.1. Тэта-функции и тэта-формы
4.2. Базисы пространств тэта-функций и тэта-форм.
Доказательство п. а) теоремы
4.3. Скалярное произведение Зигеля
§5. План доказательства теоремы
§6. Доказательство теоремы 3.1.
Второй подготовительный этап
6.1. Поведение функции (т) при изоморфизме сссг-групп
6.2. Функция Я5(г) 68 §7. Асимптотика функции Н3(т).
Окончание доказательства теоремы
§8. О факторпространстве аффинного комплексного
пространства V по действию сссг группы IV
Приложение 1 к главе III
§1. Доказательство утверждения 7.3 для всех
исключительных аффинных систем корней
§2. Одно вычисление с помощью формулы Фрейденталя-Фриза
§3. Случай классических систем корней
3.1. Анализ таблицы
3.2. Система 8[А{,1) и 5(С(, 1)

Наряду с аффинной системой корней 5 = 3(11, р), определим систему корней Я1ПУ,

полагаяр1™ — —, агпу = Ягпу = {ат'>а € Я} (смотри определение оснащенной системы

корней в п.1.3) и 5’™ = Б(Я™,р) = {а*™ + € 5*™, I £ Щ.
Заметим, нто если р = 1, то 5™' = 5, а если р > 1, то 5т" = 5(5у,р).
Все утверждения этого и следующего пунктов либо следуют прямо из определений, либо содержатся среди результатов И. Макдональда, полученных им в фундаментальной работе [31].
Полезно соотнести наши обозначения (они слева) с обозначениями И. Макдональда (справа). С точностью до подобия, имеем 5(5, 1) ~ 5(1?) и 5(5'/,р(5)) ~ 5(7?)у.
2.4. Базисы и камеры [31]
Пусть 5 - неприводимая аффинная система корней. Связные компоненты множества
V С! называются камерами. Все камеры конгруэнтны, и любая из них есть открытый «ей
симплекс. Фиксируем камеру С. Пусть хо, Х
Через 5(5) = 5(5, С) обозначим множество неразложимых корней ск в 5, которые:
а) положительны на камере С (то есть а(С) > 0);
б) яаПС - гипергрань симплекса С (далее гиперграни мы будем называть просто гранями).
Множество 5(5) состоит из элементов ао, , оц, которые занумерованы так, что афх3)
0 при г ф ]. Множество 5(5) назовем базисом аффинной системы корней 5, а сами корни а0, . ,сц - простыми корнями. Положим /г; = и г, = гщ. Отражения г; называются простыми отражениями.
Перечислим несколько важных свойств простых корней и отражений:
1) отражения г* порождают группу Игв
2) ШзС = V;
3) если и>С = С, ги £ ДОя, то и = 1. И, более того, х — у < х — и>у для любых точек х £ С,