Тензорные произведения с конечным числом орбит

• Автор: Парфенов, Петр Глебович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с. : ил.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. Классификация орбит
1.1. Общие свойства орбит и их примыканий
1.2. Группы 0^2,2,72 И 5Т^2,2,т
1.3. Группы 01,2,3,3 и ^2,3,
1.4. Группы 01,2,2,га, 31,2;2,га, 01,2,3,п и 31/2,3,п
ГЛАВА 2. Графы примыканий орбит
ГЛАВА 3. Когомологии Галуа
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Хорошо известно, что проблема классификации орбит произвольного линейного представления алгебраической группы в общем случае, на данном этапе развития математики, неразрешима, то есть не имеет решения, которое можно описать за разумное время. Поэтому решение данной проблемы идет путем выделения классов действий, для которых это возможно, так как они обладают так называемыми хорошими свойствами. Примерами хороших свойств является конечность числа орбит, а также конечность числа орбит, имеющих в своем замыкании ноль. Если рассмотреть естественные действия прямых произведений СЬП1 (С) х • • • х ОЬПг (С) полных линейных групп на тензорных произведениях С1 <8) • • • ® С”г соответствующих векторных пространств, то используя, например, работу Каца 1 можно определить, список наборов (щ,... ,пг), для которых эти действия будут иметь конечное число орбит. Это лишь следующие наборы с точностью до перестановки чисел в каждом из них: (п), (п,т), (2,2, гг), (2,3,п).
История исследований естественных действий (С) х С?1,т(С) х С) в С2® Ст <8> Сп восходит еще к классической теории Кронекера-Вейерштрасса 2, где определены критерии СЬт(С) х ОЬ„(С)-эквивалент-ности элементов пространства С2 0 Ст ® С”, которые называются пучками матриц.
Однако исследование действий алгебраических групп не ограничивается только классификацией орбит. Для многих приложений необходимо еще знать, как устроены замыкания орбит, то есть знать цепочки вырождений орбит.
гКае V. G. Some remarks on nilpotcnt orbits. J. Algebra-198D-64, p. 190-213. o
Иштмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Для естественных действий групп СЬт(С) х (?ЬЯ(С) в пространствах <С2®Ст®С" более нем через сто лет после классификации орбит Рокгяууа 3 и, независимо от него, НтпсЬйеп и О’НаПогап 4 получили критерии принадлежности одной орбиты к замыканию другой.
В истории похожих исследований следует отметить работы Нурми-ева 0,6 и Первушина 7,8,д, где они решили задачи классификации инвариантов, орбит и замыканий орбит для естественных представлений групп, соответственно, ЗЬ3(С) х б'Ьз(С) х 5Хз(С) в С3 ® С3 ® С3 и вЬ2(С) х 51/ДС) х 51/4(С) в С2 ® С4 ® С4, а Первушин дополнительно сформулировал набор комбинаторных правил, позволяющих классифицировать орбиты и их замыкания для групп СП2(С) х ОЬт(С) х СПИ(С) и 5Пг(С) х5Пто(С) х5Пи(С), действующих в пространствах С2®Ст®Сга.
Важно здесь отметить метод 10>11>12) позволяющий во многих "хороших "случаях эффективно классифицировать орбиты и дающий, кроме этого, информацию о многих-важных свойствах их геометрии.

Pokrzywa A. On Perturbations and the Equivalence Orbit oj a Matrix Pend. Lin. Alg. Appl., 82:99-121, 1986.
4Hinrichsen D., O’Halloran J. Orbit closures of singular matrix pendis. Journal of Pure and Applied Algebra 81 (1992) p. 117-137.
°Нурмисв A. Г. Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка. Матем. сб. 2000, 191 ,5 с
®Нурмисв А. Г. Замыкания нильпотептных орбит кубических матриц порядка три. УМН, 2000, 55, 2(332), с
^Первушин Д. Д. Инварианты и орбиты стандартного (ЭЬЦС) X ББЦС) X SL2(C))-модуля. Изв. РАН. Сер. матем., 2000, 64:5, с
^Первушин Д. Д. О примыканиях нильпотептных орбит пучков матриц четвертого порядка. Изв. РАН. Сер. матем., 2002, 66:5, с
®Pervouchinc D. D. Invariants and orbits of square matrix pencils. Депонент ВИНИТИ РАН № 446-B2002, Март 12, 2
^Винберг Э. Б. Классификация однородных нильпотептных элементов полупростой градуированной алгебры Ли. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1979, выпуск 19, с
44Винбсрг Э. Б., Попов В. Л. Теория инвариантов. Итоги науки и техники, современные проблемы математики, фундаментальные направления, том 55, 1989, с
^Випбсрг Э. Б. Группа Вейля градуированной алгебры Ли. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40. №3. С

морфизм. Поэтому 7г' — морфизм факторизации, и А — образующий алгебры инвариантов.
В дальнейшем доказательства утверждений, что некий многочлен порождает алгебру инвариантов, будут совершенно подобны этому, поэтому подробно такое доказательство написано только здесь.. Пункт (а) доказан.
б) При добавлении гомотетии склеиваются все не нильпотентные орбиты 6X2,2,2: так как у нас один инвариант, и в каждом слое 7Г, отличном от нуль-конуса содержится ровно одна орбита.
Это рассуждение вместе с леммой 1 полностью доказывают пункт (б). Лемма 2 доказана.