Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней

• Автор: Азамов, Аслиддин Замонович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 62 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля четвертой степени

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Оценка коротких тригонометрических сумм Вейля четвертой степени в множестве первого класса

1.3 Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля

четвертой степени

2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми

2.1 Основная теорема

2.2 Известные леммы

2.3 Доказательство основной теоремы
Литература

Обозначения
е(а) = е2та = cos 2-ка + г sin 2па.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения, с, Ci,C2, • • • ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же. е-положительные сколь угодно малые постоянные.
L = InN - натуральный логарифм N.
(p(q) - функция Эйлера.
т(п) - число делителей числа п.
Г(п) - гамма функция Эйлера.
[ж] — целая часть числа х.
{ж} - дробная часть числа х.
||ж|| — min ({ж},1 - {ж}) - расстояние до ближайшего целого числа.
(а, Ъ) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Запись А <С В или А = 0(B) означает, что существует с > 0 такое, что |Л| < сВ.
Запись А х В (знак Харди) означает, что существуют щ > О, С2 > 0 такое, что Ci В < А < с^В.

Введение
Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящимся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:
• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;
• проблема Эйлера (1742 г.)( или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;
• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;
• обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом [1] в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), т.е., что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде
x? + x% + ... + x? = N, (1)
где xi, Х2,..., хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G{n), называемой порядком базиса последовательности {ж"}, или функцией Харди;

W(h) = ^2 e{ahi(4mh + 6m2hi + 4m3)) =

— e(—ahi(4mh{ + 6m2hi + 47ii3)) e(ahi{4mh + Qmh + 4m3)) =
meli miGli
= E E e{—ah{4mh + 6m2/ii + 4m3))e(a/ii(4mi/if + 6m2hi + 4m3)) =
m£/i THiE.Ii
= "^2 e{ahi{4h{{m — m) + 6/ii(m( — m2) + 4(??г3 — m3)) =
mçli mi€/i
= E E e{ahi{mi — m)(4h + 6/ii(mi + m) + 4(mf + miin + m2))),
meli mi€li
Переменную суммирования m, обозначая mi = m + h2 и имея в виду, что
4 h + 6/ii(mi + m) + 4(m2 + mm + m2) =
= 4 h + 6/ii(2m + h?) + 4((m + hг)2 + (m + h2)m + m2) =
= 4/i2 + 6hh,2 + 12him + 4h2 + 12Н2т + 12m2 = f(m, h, h2)
имеем
И'і(Лі) = Е Е е{аНф2}{т, Ні, Ні)) = Е Е е{осНН2/{т, /іь Н2)).
теїг т+ЬєІ! к2<у
Обозначая в последней сумме интервал изменения переменного т через
І2 =І П {т : т + Ні Є /1} = (х — у,х) Г) (х — у — Ні, х — /іі)П П (х - у — Ні, х — Н2) П (х — у — Ні — /і2, ж — /її — /і2).
подставляя затем найденное значение Ид (/її) в правую часть (1.3.7), найдем
|Т(а; х, у)4 < 2у Е ЕЕ е{аНіН2/{т, НЪН2)). (1.3.8)
|Лі|<У |Ла|<г/те
Обозначая через г2(Н)~ число решений диофантового уравнения
/іі/і2(4/і| + 6/д/і2 + 12/дт + 4/і2 + 12 /і2т + 12т2) = /г