О распределении целых точек в пространстве Лобачевского

• Автор: Петриков, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 61 с.

Глава 1. О близости орбит точек плоскости Лобачевского
§1. Вспомогательные сведения из теории равномерного распределения последовательностей
§2. Случай рационального отношения координат точек плоскости
§3. Случай иррационального отношения координат точек плоскости
Глава 2. О близости орбит точек трехмерного пространства Лобачевского
§1. Случай рационального отношения координат точек пространства
§2. Случай иррационального отношения координат точек пространства
Список литературы

Одной из классических проблем аналитической теории чисел является проблема целых точек в областях евклидова пространства, т. е. задача нахождения асимптотической формулы для количества точек с целочисленными координатами, принадлежащих данным областям. Происхождение этой тематики исследований восходит к поставленному Гауссом вопросу о поведении средних значений арифметических функций.
Центральной проблемой теории целых точек является «проблема Гаусса о числе целых точек в круге». Гауссом для числа N(T) целых точек в круге х2 + у1 ^ Т было получено соотношение
N(T) = ^tT+R,R = 0(Vт),
показывающее, что число целых точек внутри круга равняется площади круга с точностью до ошибки, не превосходящей по порядку длины окружности. Дальнейшие уточнения оценок остаточного члена были достигнуты применением элементарного метода, созданного Г. Ф. Вороным. В 1903 г. Г. Ф. Вороной [1] получил результат R — 0(Т5 1пТ).
Развитие аналитических методов исследования данной задачи содержится в работах Г. Ф. Вороного [2], Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвуда [3], И. М. Виноградова [4], Л. К. Хуа [11]. Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвудом установлена также ^-оценка R = П(Т*(1пТ)2). Последние достижения в проблеме круга приведены в монографии М. Н. Хаксли [12].
Для числа М'(Т) целых точек в трехмерном шаре х2+у2+г2 ^ Т И. М. Виноградов, применяя созданный им метод тригонометрических сумм [5]—[10], получил результат
ЛГ'(Т) = Т5 + Я', Л' = 0(Т5(1пТ)6).

Ф. Чамизо и Г. Иванцом [14] установлена оценка К' = 0(ТЩ. Известно, что улучшить оценку И! — О(Тз 1пГ) нельзя.
Для многомерных рациональных эллипсоидов евклидова пространства размерности га > 4 модификация аддитивного метода Харди-Литтлвуда позволила Э. Ландау и А. Вальфишу [15]—[22] получить неулучшаемые оценки остатка 0(Т?-1), в случае га = 4 известная оценка почти неулучшаема — 0(ТпТ).
Обобщением указанных проблем является проблема получения асимптотической формулы для числа точек решетки, соответствующей некоторой дискретной подгруппе движений в римановом пространстве, попадающих в шар растущего радиуса. Постановка задачи такова. Пусть б(г, г') — геодезическое расстояние между точками гиг' риманова пространства 91, Г — дискретная подгруппа движений 91, т. е. подгруппа, обладающая следующим свойством: для любой точки г е 91 и любой последовательности {,упп^ различных элементов из Г последовательность {уп^]п^ не имеет точек накопления в 91. Для точек го 6 91 и г € 91 рассмотрим множество
5(Т;г0,г) = {7г|7 6 Т,й(г0,^)
где Т — большое положительное число. Предметом исследования является асимптотическое поведение при Т —> оо величины
_А(Т;г0,г) = |£(Т; г0, г)|,
равной числу точек решетки в шаре радиуса Т, если г не является неподвижной точкой Г, и равной этому числу, умноженному на порядок стабилизатора г в Г, если г — неподвижная точка Г.
Впервые функция IV(Г; го, г) для случая пространства Лобачевского была введена Ж. Дельсартом в 1942 г. [23]—[24]. Фундаментальной областью 5 С 91 подгруппы Г будем называть область, удовлетворяющую двум условиям:
1) V 71, 72 € г, 71 ф72, 71® п 72? = 0;
2)Цт®

Ж. Дельсартом был получен следующий результат: для АДТ^го, г) справедливо представление

+ ^4u;3?(/3i)(l - (o;S(A;) + a2 + 2шт2}) +
+ 4u^s(Pi) (l — {w3?(fc) + ai + 2o;ri}) — 8w27it2 +
+ 2(l + 2ut - {u$?(&) + o + 2wti}) x x (l + 2o;r2 - {w3?(fc) + a2 + 2wt2}) -— 2(2 иЩк) +1 + 2ujti — [uU(k) + cti + 2wri}) x
x (2u$s(k) + 1 + 2шт2 - {utô(fc) + cr2 + 2wr2})^ = 0(q% lnJ q), для первого соотношения системы и
(2cu3F?(Ar) + 1 + 2o;ti - {u;5ft(fc) + о + 2wti})2+
4- (l + 2ШТ2 - + 02 + 2шт2})2 = 0(<^ In'5 <7).
для второго соотношения системы. В силу неравенств
О ^ |u;5ft(&) + о + 2wti} < 1,
О ^ |u>9(fc) + 02 + 2шт2} <
имеем
О < 1 + 2ujti - {v№(k) + cri + 2шт} < 1 + 2o;ri < 1 + 2ш,
О < 1 + 2wt2 — {wS(fc) + 02 + 2wt2} < 1 + 2wr2 < 1 + 2u.
Из второго соотношения системы получаем
|2шЗ?(А:) + 1 + 2шт1 - [шЩк) + сг + 2o;ri} | — 0(g5 In5 q),
что равносильно
Щк) = 0(q* ln^ q).
Возводя в квадрат выражения
(2 шЩк) + 1 + 2wTi — + а + 2wri})2

(2шЩк) + 1 + 2шг2 - {ш$(к) + сг2 + 2шт2})2,