Пропозициональные исчисления и относительные многообразия алгебраических систем

• Автор: Шум, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 c. : ил

Глава I. Исчисление предикатов без равенства и

пропозициональные исчисления

§ I. Теории и предтеории в исчислении

предикатов

§ 2. Взаимно точные гомоморфизмы и

нормальные модели

§ 3. Алгебра Линденбаума и подстановки

§ 4. Относительные многообразия алгебраических

систем, логики и предлогики

§ 5. Исчисление с основанием

§ 6. Пропозициональные исчисления

Глава 2. Обобщения теорем Биркгофа и Йонссона на
относительные многообразия алгебраических систем и следствия для пропозициональных исчислений
§ 7. Обобщение теоремы Биркгофа
§ 8. Подпрямые произведения и подпрямо
неразложимые модели
§ 9. Обобщение теоремы Йонссона
§ 10. Алгебраические основания
§ II. Пропозициональные основания, удовлетворяющие условию обобщенной теоремы Йонссона

Глава 3. Структурная полнота
§ 12. Структурная полнота в исчислении
с основанием 0
§ 13. Структурная полнота в интуиционистском
пропозициональном исчислении Н
§ 14. Структурная полнота в нормальном
модальном пропозициональном
исчислении 54
§ 15. Структурная полнота в слабом модальном
пропозициональном исчислении ЗЧ0
§ 16. Структурная полнота табличных логик
Глава 4. Использование выразительных возможностей
расширенного языка в исследовании пропозициональных исчислений
§ 17. Пропозициональный и расширенный языки
§ 18. Конечная аксиоматика логики бесконечных
задач в расширенном языке
Литература

.ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в математической логике большое внимание уделяется исследованию неклассических логик. Необходимым этапом исследования всякой неклассической логики является исследование ее на уровне пропозиционального языка, т.е. языка исчисления высказываний. В связи с этим построены и изучаются различные пропозициональные исчисления. Среди них наибольшее внимание исследователей привлекают интуиционистское и модальные пропозициональные исчисления. В то же время интенсивно изучаются и многие другие пропозициональные исчисления, отличающиеся друг от друга как исходными аксиомами и правилами вывода, так и языком, т.е. исходными пропозициональными связками. В связи с этим в качестве самостоятельного объекта исследования рассматривается пропозициональное исчисление, заданное произвольным набором аксиом и правил вывода в языке с произвольными пропозициональными связками (соответствующие определения можно найти, например в работе [27] ).
С другой стороны, традиционными объектами исследования универсальной алгебры являются многообразия алгебр и алгебраических систем. К фундаментальным результатам в этой области относятся теорема Биркгофа [14, стр.3371 , известная для многообразий алгебраических систем, и теорема Йонссона [29] , известная для многообразий алгебр. Всякому многообразию алгебр соответствует множество тождеств, истинных во всех алгебрах этого многообразия. Всякое такое множество называется эквациональ-ной логикой. Эквациональная логика может быть также определена как множество тождеств, замкнутое относительно выводимости в

К19=f' ((tj (К и Е))ел JU£)= >f4 HeSPt^lKuE))nÄ“)=HbP(KuE)
и теорема доказана.
Пусть К, - гомоморфизм, определенный на модели оС , и &fti - его ядерная конгруэнция (элементы а ,£>€ оС принадлежат одному классу эквивалентности fa/ch , если iiCL—'hi)). Заметим, что в случае, когда гомоморфизм^ точен, модель 1ьо(изоморфна фактор-модели » а в случае, когда гомоморфизм К взаимно точен, конгруэнция КжК является внутренней. Гомоморфизм 4ъ называем нормальным, если Kot является нормальной моделью. Говорим, что эквивалентность р на оС согласована с гомоморфиз-momJl_ , если для любого предикатного символа Реви любых . .,an,ßtt£ od имеет место сцр-б,,
=> f.an) Р .
Пусть o^6;JU.q и pi®(oL) - класс гомоморфизмов, отображающих модель оС на модели из класса J4q . Говорим, что основание Q удовлетворяет с-уело вию, если для любых модели и
гомоморфизма ^ <е Jiot) конгруэнция сопоб согласована с гомоморфизмом К
Лемма 7.1. Если основание Q удовлетворяет С-условию, то для любой его модели oi и любых нормального гомоморфизма ке)(V) и взаимно точного гомоморфизма К £ (cL) существует гомоморфизм fi G^ikoOтакой, что
Доказательство. Пусть оС- модель основания Q и K,fi^ ^(°0 ~ нормальный и взаимно точный гомоморфизмы, и пусть <х! - модель, алгебра которой совпадает с алгеброй модели ОL , а предикаты определены соотношением Р ( СЦ, • - •, cl^-)
<=» Р (4ьсц-. ,4ъап) • Тогда модель К oi изоморфна фактор-модели °S/£üw.o(/* В силу С -условия СоП оС ^ СОцсХ . Так как гомоморфизм К взаимно точен, то Шго(.. Следовательно,