Структурные и эквациональные свойства присоединенно регулярных колец

• Автор: Танана, Галина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 71 с. : ил.

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Предварительные сведения

0.2.1 Необходимые сведения из теории колец

0.2.2 Необходимые сведения

из теории полугрупп

0.2.3 Необходимые сведения

из теории многообразий

0.3 Обзор предшествующих результатов

0.3.1 Свойства обобщенно радикальных колец 16 0.3.2 Связь обобщенной радикальности

и строгой регулярности

0.3.3 Критерий обобщенной радикальности

0.3.4 Свойства присоединенно регулярных колец 20 0.3.5 Связь регулярности
и присоединенной регулярности
0.3.6 Критерий присоединенной регулярности
0.3.7 Присоединенно ортодоксальные кольца
0.3.8 Присоединенно право инверсные кольца
0.3.9 Присоединенная регулярность матричных
колец
0.4 Структура работы

0.5 Обзор основных результатов
0.6 Апробация
1 Суммы радикальных и регулярных колец
2 Многообразия присоединенно регулярных колец
3 ^-многообразия
присоединенно регулярных колец
Список обозначений
Предметный указатель
Список литературы

0.1 Общая характеристика работы
Основным объектом настоящей диссертации является класс присоединенно регулярных колец. (Сразу отметим, что слово «кольцо» в данной работе всегда означает ассоциативное кольцо.)
Понятие присоединенной регулярности возникло на стыке двух важных направлений современной теории колец, а именно, теории регулярных колец и направления, изучающего присоединенное умножение. Кратко напомним соответствующие определения.
Кольцо R называется регулярным, если для любого а £ Л найдется такой элемент b G R, что aba — а. Понятие регулярного кольца, введенное фон Нейманом [65] в 1936 году, обеспечило единообразный подход к классическим результатам теории полупростых колец.1 Позже выяснилось, что регулярные кольца обладают многими замечательными структурными и гомологическими свойствами. Обзор современного состояния теории регулярных колец дается в известной монографии Гу-дерла [38]. Отметим, что поскольку определение регулярности
теории колец термин «регулярное кольцо» используется и в других смыслах, но в данной диссертации под регулярностью будет всегда пониматься именно регулярность в смысле фон Неймана.

Ж, МОЖНО эффективно построить многочлен /і(ж) такой, что множество его коэффициентов совпадет со множеством коэффициентов многочлена дг. При этом тождество /;(ж) = 0 будет, разумеется, выполнено в многообразии 0} как следствие тождества ді = 0.
Далее, условимся, что степень нулевого многочлена равна 0, а ж0 = 1. При таком соглашении, если степень многочлена /г (ж) равна ф, то множество коэффициентов многочлена
/(ж) = /і (ж) + ж*/г (я) + ж<гі+Й2/з(ж) + • • • + ж^-^-'/Дж)
совпадает со множеством коэффициентов всех многочленов а тождество /(ж) = 0 выполнено в многообразии 01 как следствие системы тождеств £. Итак, в случае, если не все коэффициенты многочленов ді нулевые, эффективно строится ненулевой многочлен /(ж) такой, что в многообразии 03 выполнено тождество /(ж) = 0. Если простое число д больше, чем степень многочлена /(ж) и чем абсолютная величина любого из его коэффициентов, то поле из д элементов не может удовлетворять тождеству /(ж) — 0, так как после приведения коэффициентов по модулю д многочлен останется ненулевым, а число корней ненулевого многочлена в поле не может превосходить его степень. Поэтому и кольцо Эд не удовлетворяет тождеству /(ж) = 0, а следовательно, не принадлежит многообразию 03. В силу теоремы 2, для того чтобы проверить, состоит ли 03 из присоединенно регулярных колец, остается проверить принадлежность к многообразию 03 лишь конечного множества колец ясно, что располагая конечным базисом тождеств этого многообразия, такую проверку можно произвести эффективно.
Следует отметить, что с точки зрения эквациональной и ин-