Полиномиальные тождества в нильалгебрах

• Автор: Аладова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Основные определения

1.2 Вспомогательные факты

Глава 2. Полиномиальные тождества в нильалгебрах над полем характеристики р>

2.1 Предварительные результаты

2.2 Построение алгебры Вп и ее свойства

2.3 Доказательство основной теоремы

Глава 3. Некоторые неконечнобазируемые системы тождеств с тождеством вида хп

3.1 Некоторые дополнительные следствия леммы 1

3.2 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12
3.3 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р
Библиография

Тождества являются одним из важнейших объектов исследования в теории универсальных алгебр. Теория тождеств представляет собой достаточно разветвленный раздел алгебраической науки. Язык тождеств позволяет описывать многие свойства алгебраических систем и их классов, а изучение тождеств конкретных алгебраических объектов помогает исследовать структуру этих объектов, выяснять взаимосвязи между различными объектами и их классами.
Начало изучения тождеств как абстрактных объектов было связано с решением вполне конкретных задач. Одной из таких задач является знаменитая проблема Бернсайда 1902 года о периодических группах: является ли конечной группа с конечным числом порождающих и с тождеством хп = 1, где п фиксированное натуральное число? Эта проблема породила различные ее варианты и в полном объеме не решена до сих пор.
Исследования по проблеме Бернсайда в группах способствовали рассмотрению аналогичных вопросов и в других алгебраических структурах (полугруппах, кольцах, алгебрах и др.).
Огромную роль в развитии науки о тождествах сыграла проблема конечной базируемости, впервые поставленная Б. Нейманом для групп в 1935 году в докторской диссертации: верно ли, что произвольная система групповых тождеств является следствием своей конечной подсистемы?
Проблема, поставленная Б. Нейманом, долгое время оставалась открытой и была решена отрицательно. В 1970 году А.Ю. Ольшанский [26] доказал, что существуют системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе, в том же году С.И Адяном [1] и М. Воэн-Ли [44] были построены первые примеры таких систем.
Вариант проблемы конечной базируемости для ассоциативных алгебр известен как проблема Шпехта: верно ли, что любая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр конеч-нобазируема?
Первоначально этот вопрос, сформулированный В. Шпех-том [43] в 1950 году, был поставлен для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. А.И. Мальцев [18] поставил вопрос в иной формулировке: существуют ли неконечнобазируе-мые системы тождеств ассоциативных колец?
Первые результаты, связанные с данной проблематикой, принадлежат В.Н. Латышеву [20], [21]. А первые контрпримеры к проблеме конечной базируемости для алгебр были получены в классе алгебр Ли в 70-е годы, поскольку вопрос о конечной базируемости систем полиномиальных тождеств представляет интерес не только для ассоциативных алгебр, но и для других классов

i' = lx < l2 < ... < l2p < hP+1 = f,
причем для каждого S ИЛИ ls < ls+l, ИЛИ ls = l8+ — четное число. Напомним, что
022 = 044 = ... = 0(2р)(2р) ■
Пусть г = а22- Произведение (2.5) можно представить в виде
bor,1bxr'2b2... bt-rHbt, (2.6)
где 1 < t < р, *’i ** > 0, для следующих элементов bj Е R * (i = 0,1 «):
Ьо = а (о) (о)О (о) (о)... а (о) (о) ,
«1 «2 *2 *3 *с0 ас0+1
где 0 < со < р (при со = 0 считаем 6о = 1), я£°) < s^ при q < qr,
Sj° s 2° s® — нечетные, a — четное число;
bj — а а) (до о) со • • • о o) w) ,
*1 «2 *3 aCj+l
где 1 < j < t-1, 1 < Cj < p-1, 8? = s^lx (s[15 = i', если Co = 0),
sff) < при q < q>, Sx s^+i — четные, a — нечетные
числа;
bt = a w ма т 8i 82 S2 S3 8Ct
где 0 < Cf < p (при ct = О считаем bt = 1), < Sg) при q < qr,
(f) (t) (t) (t-i)
S2 s^;+1 — нечетные, as]— s^+i — четное число.
Пусть deg(6o ■‘•bt) — степень одночлена bo.. .bt относительно переменных a,ij. Ясно, что
deg(60 • • • bt) = со + ci + ... + ct. (2.7)