Структурная теория и подгруппы групп Шевалле над кольцами

• Автор: Степанов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с.

Оглавление
Введение
Образующие относительной элементарной группы
Локально-глобальный принцип и избавление от знаменателей
Коммутационные формулы
Нильпотентность Ki
Ширина элементов
Классы Ашбахера
Теорема сэндвич классификации
Примеры сэндвич классификации
Надгруппы subring subgroup
Глава I. Обозначения и предварительные сведения
1.1. Группы и групповые функторы
1.2. Тождества с константами
1.3. О решетке подгрупп
1.4. Кольца
1.5. Аффинные групповые схемы
1.6. Представления групповых схем
1.7. Большие подфункторы аффинных групповых схем
1.8. Системы корней
1.9. Алгебры и группы Шевалле
1.10. Коммутационная формула Шевалле и параболические подгруппы
1.11. Разложения Бргоа и Гаусса
1.12. Относительная элементарная группа и принцип расщепления
Глава II. Элементарные вычисления
2.1. Унипотентные радикалы противоположных параболических подгрупп
2.2. Образующие относительной элементарной группы
2.3. Ненормальная элементарная подгруппа
2.4. Избавление от знаменателей
2.5. Локально-глобальный принцип

2.6. Стандартные коммутационные формулы
2.7. Относительные версии принципов
Глава III. Структура групп Шевалле над кольцами
3.1. Ключевая конструкция
3.2. Усиление избавления от знаменателей и ключевая лемма
3.3. Расширенная элементарная подгруппа
3.4. Ширина коммутаторов
3.5. Относительная ключевая лемма
3.6. Относительные коммутационные формулы
3.7. Нильпотентпая структура К
Глава IV. Подгруппы, нормализуемые группой над подкольцом. Системы
корней с двойными связями.
4.1. Вычисление уровня
4.2. Извлечение корневых элементов из унипотентного радикала
4.3. Внутренние модули Шевалле
4.4. В параболической подгруппе
4.5. Неприводимость рациональных представлений
4.6. Описание нормализатора
4.7. Противоположные корневые унипотенты
4.8. Маленькие элементы и тождество с константами
4.9. Теорема сэндвич классификации
4.10. Подгруппы, нормализуемые Е(К)
Глава V. Подгруппы, содержащие группу над подкольцом. Системы
корней с простыми связями.
5.1. Построение противоположных унипотептов
5.2. Свободные произведения
5.3. Нестандартность решетки подгрупп для квазитрансцендентных расширений
5.4. Простейшие свойства квазиалгебраических расширений
5.5. Характеризация квазиалгебраических расширений
Основные обозначения
Литература

Введение
В настоящей диссертации изучаются группы точек групповых схем Шевалле-Демазюра над коммутативными кольцами. В основном изучаются свойства этих групп как абстрактных групп, например решетка их подгрупп. Несмотря на это, техника групповых схем играет в диссертации важнейшую роль.
Пусть G = G($,_) - групповая схема Шевалле-Демазюра, Е - ее элементарная подгруппа, R С А - коммутативные кольца, а q - идеал в Д. В диссертации изучаются следующие проблемы:
• образующие относительной элементарной группы E{R, q);
• коммутационные формулы;
• нильпотентная структура группы Kf(Ä, q) — G(R, q)/E(R, q);
• ограниченность длин элементов группы G(R) по отношению к некоторому множеству образующих;
• расположение подгрупп группы G(A), нормализуемых E(R).
Этим вопросам были посвящены сотни работ. Начиная с работ X. Басса [72, 4] по алгебраической К-теории, X. Басса, Дж. Милнора и Ж.-П. Серра [73] по решению конгруэнц-проблемы, Дж. Уилсона [133] и И.3.Голубчика [29] о нормальной структуре полной линейной группы, A.A. Суслика [50] и Д. Квиллена [111] по решению проблемы Серра, линейные группы над коммутативными кольцами привлекали пристальное внимание специалистов как в России, так и за рубежом.
Центральным результатом, различные аспекты которого обобщаются в настоящей диссертации, является теорема Jl. Н. Васерштейна и И. Абе о нормальном строении групп Шевалле, полученная ими в работах [61, 129, 60]. Для того, чтобы не перегружать введение техническими деталями, сформулируем версию этой теоремы из работы [129]. В этой работе предполагается, что маленькие простые числа обратимы для некоторых систем корней; это условие сформулировано в диссертации, как свойство 4.1.1. Напомним, что G{R) q) обозначает ядро канонического гомоморфизма G(R) -4 G(J?/q), а C(R, q) - полный прообраз центра при этом гомоморфизме.

<91, . . . ,в£ Е 5. Отсюда следует, ЧТО Як = Зрк А3к образуют открытое покрытие (7, а по лемме 1.7.1 Як С Е.
(2) => (3). По пункту (3) леммы 1.7.2 существует в € 1 + I такое, что Яо = Бр^ А3 С Е. По условию (2) существует унимодулярная последовательность . .. , Е А такая, что Бр^ А3к С Е. Положим в'к = зДз — 1) Е /. Тогда последовательность 5, йф. .. , 5^ удовлетворяет требованиям пункта (3). Действительно, очевидно, что эта последовательность унимодуляриа, а БрК А3> С Эрк С Е.
(3) =Ф- (1). Пусть 7? - локальное кольцо. Образ уиимодуляриой последовательности унимодулярен, а над локальным кольцом любая унимодулярная последовательность содержит обратимый элемент. Поэтому для любого а Е (7(7?) существует к = 1, ... ,£ такой, что а(в^) обратим. Следовательно, гомоморфизм а пропускается через А3к, т. е. а Е Як{Щ С 77(7?),
(4) •<=> (1). Ясно, что условие (4) слабее, чем (1). Обратно, пусть Я - локальное кольцо с радикалом q = Яас1Я и полем вычетов Я. Так как 77(7?) сюръективно отображается па Е{Я) — £7(7'’) при гомоморфизме редукции рц, то С(7?) = 77(7?)(7(7?, q), что содержится в 77(7?) по пункту (1) леммы 1.7.2. □
Заметим, что условие (3) последней леммы влечет выполнение условий леммы 1.7.2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7.4. Групповой подфунктор Е аффинной групповой схемы (7 над К называется большим, если он сохраняет сюръективные отображения, коммутирует с прямыми пределами, а также удовлетворяет условию (3) леммы 1.7.3.
1.8. Системы корней
Все системы корней, рассматриваемые в настоящей диссертации, являются приведенными, т. е. для корней а,(3 равенство а = к/3 влечет к = ±1. Мы пользуемся в основном обозначениями из [10] с тем отличием, что в диссертации система корней изначально является подмножеством евклидова пространства V. так что дуальное пространство Уу канонически отождествляется с V. Скалярное произведение элементов и,У€У будет обозначаться через (иу).
Для (3 Е Ф обозначим через вр отражение относительно гиперплоскости, ортогональной (3. Группа, порожденная отражениями вр по всем /3 Е Ф, называется группой Вейля системы корней Ф и обозначается через У = ИДФ).