Распознавание конечных групп по свойствам множества порядков элементов

• Автор: Зиновьева, Марианна Рифхатовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление
Введение
1 Обозначения и предварительные результаты
2 Конечные группы с множеством порядков элементов как у группы /Уз(д)
3 Конечные простые группы с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса
Литература

Введение
Множество порядков элементов конечной группы несет богатую информацию о самой группе. Подтверждением этого является факт существования конечных групп, которые восстанавливаются с точностью до изоморфизма по своему множеству порядков элементов. Характер изменения этого множества при расширении групп является популярным предметом изучения. Классическим примером служит известная работа Ф. Холла и Г. Хигмана [24], в которой в связи с ослабленной проблемой Бернсайда изучались порядки р-элементов в накрытии G р-разрешимой группы H = G/N для случая, когда N — элементарная абелева р-группа и Н действует точно на N при сопряжении в G. Холл и Хигман доказали, что при таких условиях G, как правило, содержит р-элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы Н. Недавняя работа А.Е. Залесского [53] о конечных линейных квазипростых группах с циклической силовской р-подгрупгюй продолжает исследования Холла и Хигмана. Эта работа нашла хорошее применение при изучении распознаваемости конечных простых групп (см., например, [10]).
Пусть G — конечная группа. Обозначим через oj{G) множество всех порядков элементов группы G. Скажем, что конечная группа Н распознаваема по множеству w(iï), если для любой конечной группы G из равенства ш(Н) = ш((7) следует изоморфизм Н и G. Нетрудно показать, что любая группа, содержащая нетривиальную разрешимую нормальную подгруппу, не является распознаваемой. Поэтому проблема распознаваемости представляется естественной

для конечных почти простых и, в частности, простых групп. Вопросам распознаваемости таких групп посвящено довольно много работ. Доказано, что следующие конечные простые группы распознаваемы: Ü/2( 1 [20],L3(4) [39], L3(8) [31], L3(7), L4(3), 2F4(2)' [301, b5(3) [19], f/4(3) [47], £/6(2) [28], 08"(2), Of0(2) [49], спорадические группы, отличные от J2, [28],[29],[42],[43],[44],[45],[48], знакопеременные группы As, Aie, Д> Д+іі Д+2) где г ^ 7 — простое число [4],[5],[7],[8],[14], [19],[35],[411 группы L3(2m), U3(2) [11], S4(32m+l), где m > 0, U3(9), 3D4(2), G2(4), 56(3), F4(2), 2E6(2) [10], G2(3m) [3], [30]. Обзор результатов можно найти в [10], [32].
Множество со (G) частично упорядочено относительно делимости и потому определяется подмножеством p(G) своих максимальных по делимости элементов. Для натурального числа п через тг(га) обозначим множество всех простых делителей числа п и положим 7r(G) = 7т([G|). Множество üj{G) определяет граф Грюнберга-Кегеля, или граф простых чисел, GK(G) группы G, множеством вершин которого служит 7r(G), и две вершины р, q из n(G) соединены ребром, если G содержит элемент порядка pq. Обозначим через 7Г,• = 7p(G), где і = 1, • • ■, t(G), і-ю связную компоненту траста GK(G). Для группы G четного порядка положим 2 Є 7Г4. Обозначим через щ = /p(G) множество тех п Є p(G), для которых 7г(п) С тг.,-.
Доказательство распознаваемости большинства конечных групп с несвязным графом простых чисел использует следующую теорему.
Теорема Грюнберга-Кегеля (■теорема А в [52]). Если G копейная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, то верно одно из следующих утверждений:
(а) G — группа Фробениуса;
(б) G = ABC, где А, АВ — нормальные подгруппы группы G, и АВ, ВС — группы Фробениуса с ядрами А, В и дополнениями В, С соответственно;
Конечные группы с множеством порядков элементов
Так как т[тр'~2(г — 3) — 3] + 5 > 0 при г Д 4, то

< - при г ^ 4.
(гР'-1 _ 1)(г _ 1)
Итак, (*) выполняется.
Предположим, что р < д. Так как
Р(Р/_1Ь(Р/_1 — 1) — 1] — 1) +- 1 > 0 при / > 1, то р2? — р?+1 — р^ — р + 1>0 при / > 1. Следовательно,
92 - д + 1 р2/ - У +
ЩТГ-“ рГ+1 >Р"Р"/>
Отсюда р(д +1) < д2 — <7+1 < д2 — 1. Если (3,д + 1) = 3, то р Значит,
д + 1 < р(д + 1)/3 < (д2 - д + 1)/3 < (д2 - 1)/3.
Имеем
(ур'-1 _ Д. 1) д2 _ д _|_ 1 ^ гр' _
Отсюда
Поэтому

с? (3,д + 1) (3,д+1) (г — 1) о?

I < 7 :—;------------------------------------77 < Т.С. I = 1.
(г? -1 - 1)(г - 1)
д2 — д + 1 гр>
р(д+1) (г - 1)(гР'-1 — 1) 2’
2(р21 _ р! д. 1) < 3(р^+1 + р).
р{р! ~1{р{2р?~1 — 3) — 2] - 3) + 2 > 0, противоречие. Предположим, что р = 9- Тогда
9 + 1 < (92 - 9 + 1)/3 < (д2 - 1)/3 < р(9 + 1)/3.