Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИ

• Автор: Репин, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 64 с. : ил.

1 Алгебры Ли, градуированные алгебры и их многообразия

1.1 Основные определения

1.2 - градуированные алгебры Ли

1.3 Многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста

2 Градуированная алгебра вЬ

2.1 Градуировки на алгебре 5^2

^ 2.2 Тождества г2-градуированной алгебры вЦ

2.3 Тождества^2 х 22-градуированной алгебры вІ2

2.4 Тождества 2з-градуированной алгебры й^2

3 Некоторые многообразия алгебр Ли, порожденные Z2 — градуированными алгебрами Ли

3.1 Многообразие Г222

3.2 Многообразие У^2
Литература

При изучении тождественных соотношений в линейных алгебрах одним из важных вопросов является нахождение численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры или многообразия алгебр. Такой характеристикой для произвольного многообразия V является размерность с„(У) пространства полилинейных элементов степени п. Числа сп(у) образуют последовательность, рост которой называют ростом многообразияДЛ В ассоциативном случае А.Регевым в [28] было показано, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр имеет не более чем экспоненциальный рост. В алгебрах Ли это не так, существуют многообразия алгебр Ли со сверхэкспоиенциальным ростом. Одним из таких многообразий является многообразие ААг, определяемое тождеством {хХ2Хъ) (х^х^Хб) = 0. Данное многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко [5],[б]. Новые результаты исследования этого многообразия можно посмотреть в работе А. Джамбруно, С.П. Мищенко и М.В. Зайцева [12].
В теории многообразий линейных алгебр хорошо известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом, то есть само многообразие имеет экспоненциальный рост, а любое его собственное подмногообразие -полиномиальный.
В ассоциативном случае А.Р. Кемером [16] было показано, что только два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана Л, второе - алгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка два.
В случае алгебр Ли в настоящее время известно только пять многообразий почти полиномиального роста. Из работ И.Б. Воличенко [3],[4] и С.П.Мищенко [19],[20],[21] следует, что в классе разрешимых многообразий алгебр существует только четыре многообразия почти полиномиального роста. Кроме того, построен только один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста, это многообразие порождается простой трехмерной алгеброй Ли, которое подробно исследовано Ю.П. Раз-мысловым и В.Дренски [26],[27],[9].
В последнее время большой интерес повернут на изучение алгебр с дополнительными условиями: алгебр с инволюцией, градуированных алгебр, например, [1],[10],[11],[24],[13],[14]. Из работ A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [11],[24] существует только два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией почти полиномиального роста. Одно из них порождается алгеброй G2 = F ф F, где F - основное поле, с инволюцией (а, Ь)* = (£>, а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана А. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT2).
Данная работа посвящена изучению градуированных тождеств алгебр Ли, порождающих многообразия почти полиномиального роста.
Работа состоит из введения и трех глав. В первом параграфе первой главы даны основные определения и понятия, связанные с теорией многообразий алгебр Ли и техникой диаграмм Юнга. Во втором параграфе приведены основные определения, связанные с Z2 - градуированными алгебрами Ли, описана техника диаграмм Юнга для случая Z2 - градуированных алгебр, введены понятия градуированной коразмерности и градуированной
т,ц — 0, если вторая диаграмма состоит не из одной клетки. Более того, из леммы (4) следует, что т41 = 0, если второй столбец первой диаграммы состоит более чем из одной клетки.
Рассмотрим элементы следующего вида
а(л Д) = гУч • • • УгЛУпУь) • • • (ул-1 Уд.). (3.3)
где ц < ц < ... < гг,у! < у2 < < js, п = 1 + г + в. Покажем, что они
формируют базис пространства Рга_ 1,1 (И^2).
В алгебре С? в силу нильпотентности алгебры Л^"") выполняется тождество 2(у1У2Уз) — О, из которого следует следующее тождество
2(2/12/2)2/3 = гуз(У№)- (3-4)
Так как в алгебре Ь выполняется тождество (3.1), то после полной линеаризации, используя тождество (3.4), получаем
2(2/12/3) (2/22/4) + 2(2/22/з) (2/12/4) + 2(1/12/4) (2/22/з) + 2(1/22/4) (2/12/з) -22(2/12/3) (2/22/4) + 2г{ут)(у2Уз) = О,
то есть
2(2/12/3) (2/22/4) = -2(2/12/4) (2/22/3) • (3.5)
Введем индукцию по числу переменных вне коммутаторов и лексикографический порядок на начальном отрезке элемента до первого коммутатора. Берем произвольный элемент ИЗ Рп-.'(У22)-
В элементах можно делать следующее: сдвигать коммутаторы, ставя их на произвольное место внутри элемента по тождеству (3.4); внутри коммутатора можно переменные менять местами по тождеству антикоммутативности; внутри коммутаторов упорядочить все переменные по тождеству (3.5). Таким образом мы можем все коммутаторы сдвинуть в конец элемента, а все переменные в коммутаторах упорядочить. Если в элементе есть