Аддитивные задачи с целыми числами из специальных множеств

• Автор: Мотькина, Наталья Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения
Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

Глава 2. О простых числах специального вида на коротких промежутках

Глава 3. Вариант тернарной проблемы Гольдбаха

Глава 4. Задача Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида

Глава 5. О числе решений уравнения Лагранжа в целых числах специального вида

Список литературы

Обозначения
с, сі, С2, ■ - • — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные.
є — произвольно малое положительная постоянное число, є < 1. а — произвольное натуральное число, а ^ 2.
Р, Pl,P2, ■ • ■ ~■■ простые числа.
{ж} — дробная часть числа ж.
ЦаЦ — расстояние от а до ближайшего целого числа. ехр(ж) = ех.
In ж = log ж — натуральный логарифм ж.
(а, b) — наибольший общий делитель чисел а и Ь.
тк(п) — число решений уравнения х..,хк — п в натуральных числах XI, , Xk, причем То(1) = 1 И То(п) = 0 при п > 1. т(п) = т2 (и) — число натуральных делителей п.
Л(п) — функция Мангольдта — равна In р. если п — р*, и равна 0 в противном случае.
ф(х) — функция Чебышева — сумма значений А(п) по п, не превосходящим

7г(ж)— число простых чисел, не превосходящих ж.
Запись d | п означает, что п кратно d.
Запись а = b (mod тп) означает, что m | (а — 6).
ц(тг) — функция Мебиуса — равна единице при п — 1, равна нулю, если р2п, и равна (—l)fc, если п есть произведение к различных простых чисел. £(.s) — дзета-функция Римана.
Запись А < В означает, что при некотором с имеем А ^ сВ.
Запись Ах В означает, что сВ ^ А ^ съВ.
Запись I(N) ~ f(N) означает, что lim = 1.
N—> оо •*' '
(|) — символ Лежандра — равен +1, если а есть квадратичный вычет по модулю р, равен — 1, если а есть квадратичный невычет по модулю р, и равен нулю, если р | а.
S(q, a,b) — Y1 e2m(aj4biVq, S(ua = S(q, а, 0) — суммы Гаусса.
K(q,a, b) = ^ e2m(aj+b-j)/q _ Сумма Клоостермана, jj = 1 (mod q).

Пользуясь леммой об оценке модуля линейной тригонометрической суммы (лемма 13), получим
1У2 logN ||7^11_1|)-
Согласно неравенствам (15), (17) для
, Х^ + МУ“
7о! =
имеем 6?,(Г¥~1 < 0,5. Полагая
к, если к ^ У/2,
У — к, если У/2 < к < У, где к — наименьший неотрицательный вычет числа Хс1 по модулю У, имеем
wъw2cog2N Е -у - «:У1оц3Ж
1, г — 0,
0<г<У/2 ’
7. Перейдем к оценке суммы Из. Суммы по т, п разобьем каждую на <С 1о§ N сумм с пределами, различающимися не более чем вдвое. Пусть
и < М ^ ЛГИ“1, и <К ^ ИМ-1, Мх ^ 2М, ^ 5$ 2К,
МК ^ N.
Тогда
У^\¥ъ(М,К)\о£2Х,

У;(М,К)= Е Е Л(п)е27тп.
М<т^М К<п^К
Возведем сумму У3(М, К) в квадрат, с помощью неравенства Коши получим неравенство (лемма 16):
И/3(М,^)2«( Е а) Е I Е Л(п)е2^т" I2.
М <7п^М МКт^Мх К<п^К