Применения логических исчислений к изучению естественных преобразований в категориях

• Автор: Соловьев, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 158 c. : ил

I. Одной из важных тем общей теории категорий является изучение естественных преобразований в категориях, снабженных дополнительной структурой, состоящей из выделенных объектов, выделенных Функторов (чаще всего в этой роли фигурировали функторы типа тензорного произведения, внутреннего кот -функтора, прямой суммы или прямого произведения) и выделенных естественных преобразований (типа естественного изоморфизма коммутативности тензорного произведения, естественного изоморфизма сопряженности тензорного произведения и внутреннего кот -функтора, или естественных проекций прямого произведения), при условии, что все эти данные подчиняются определенным соотношениям (скажем, ОС - 4 , где С обозначает естественный изоморфизм коммутативности тензорного произведения).
6 диссертации к проблемам этой тематики применяется ряд методов и конструкций, "подсказанных” математической логикой (теорией доказательств, теорией формальных систем) и на этой оонове решен ряд конкретных задач, касащихоя естественных преобразований суперпозиций выделенных функторов в категориях о дополнительной структурой.
История вопроса восходит к началу 60-х годов (см. [I] ). Естественные преобразования в категориях с дополнительной структурой активно изучались с того времени С.Маклейном, С.Эйленбергом, И.Ламбе-ком и рядом других математиков (см., например, [2^ , [3] , [5] ,
[8] , [18] , [29] , [30] ).
Рассматривались в основном задачи, связанные с естественными преобразованиями, которые могут быть представлены некоторыми термами, построенными ив символов выделенных естественных преобразований при помощи символов выделенных функторов и символа композиции (та-

вне естественные преобразования мы будем называть, в духе работ С.Маклейна [2] , [25] каноническими естественными преобразованиями; их точное определение для рассматриваемых в этой работе типов категорий дается ниже, в § 2), в частности задачи о корегентнооти канонических естественных преобразований (верно ли, что вое диаграммы в том или ином классе диаграмм канонических естественных преобразований коммутативны).
Полученные результаты находили применение в различных областях математики; при построении бесконечнократных пространств петель в алгебраической топологии (см. [2] , [4] , [5] ); при построении "длинных точных последовательностей" в гомологической алгебре [6]; при определении операций Стинрода в абелевых категориях [?] и т.д. Н.П. Титов нашел неожиданные применения результатов о когерентности к вопросам описания работы систем ЭВМ [8 ]
2. В ряде случаев для решения задач упомянутых типов о успехом применялась теория исчислений. Связующим звеном между теорией категорий и теорией исчислений служит тот факт, что с класоом категорий, имешдах заданную дополнительную структуру, может быть связано (вообще говоря, многими способами) некоторое исчисление секвенциального типа, которое оказывается свободной категорией того же класса при следующем "распределении ролей": формулы играют роль объектов; роль морфизмов из А в Б отводится классам эквивалентных друг другу выводов секвенции А-*В (или их кодов) при некотором отношении эквивалентности =• , определяемом на основании
соотношений, выполнение которых требуется в рассматриваемом классе категорий (в частности, класс эквивалентности аксиомы А->А играет роль единичного морфизма); роль композиции играет правило сечэния ———-—^ ; роль функторов играют пропозициональные
г С
связки (на объектах) и правила введения соответствующей связки

(на морфизмах); роль естественных преобразований играют схемы аксиом или иногда (например, для изоморфизмов сопряженности) правила вывода.
Впервые, по-видимому, начал применять исчисления для изучения канонических естественных преобразований И.Ламбек (см. [9] - [II]), обнаруживший не только связь между исчислениями и категориями, имевшую описанный выше характер, но и то, что исчислениям, рассматриваемым в связи со многими интересными классами категорий, можно придать формулировку, допускающую применение хорошо известных методов теории доказательств, например, устранение сечения. Ряд дальнейшие результатов можно найти в статьях [з] , [12] — [16} ив книге [17] . В [17] описываются исчисления, отвечавшие большинству представленных в литературе вариантов дополнительной структуры в категориях. (В основном эти исчисления оказались близки к различным фрагментам интуиционистского исчисления высказываний).
3. Однако предоставляемые теорией исчислений возможности использовались не в полном объеме. Привлекаемая в этих работах техника теории исчислений сводилась в основном к различным вариантам теорем об устранимости оечения (в исчислениях генценовокого) типа и о нормализуемое выводов (в исчислениях натурального типа, чему соответствовала возможность обойтись без композиций (за исключением некоторых специальных случаев) в термах, представляющих канонические естественные преобразования.
В данной диссертации рассматривается и решается ряд новых задач теории категорий (и некоторые ранее известные); при этом используются некоторые методы теории исчислений, которые раньше в этой связи не применялись. Среди новых задач теории категорий рассматривается, например, задача описания всех (а не только канонических) естественных преобразований всевозможных суперпозиций вцде-

частях определяется по графу отождествлений.
Если К - КЗ-категория, то к рассмотренным добавим еще ОЕП
(отображения уа- и определяются аналогично).
Нетрудно убедиться, что рассмотрены действительно ОЕП. Графы отождествлений этих ОЕП в дальнейшем будут обозначаться также чено бвио бы получить "дубликаты" рассмотренных ОЕП, отличающиеся только переменными в графах отождествлений. Ниже будут определены
по отношению к которым рассмотренные здесь ОЕП будут компонентами. ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. Введенное выше понятие оснащенного типа отличаменных (что существенно для связи с исчислениями). Как следствие, у нас появляются "дубликаты" ОЕП (см. пример 4.1). Этим, однако, и ограничиваются сколько-нибудь существенные различия. В частности, эти различия не .играют существенной роли по отношению к рассматриваемым далее задачам.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. Связь между ОЕП и обычными естественными преобразованиями подробно рассматривается в [24] . Что касается основных теорем данной работы, относящихся к ОЕП, то они останутся верными, если заменить в их формулировке ОЕП на обычные естественные преобразования. Если допустить при этом перестановки аргументов функторов и естественных преобразований, го все формулировки также остарез .. 7 §£(а,Ь) соответственно. Заметим, что
взяв вместо другие переменные, скажем, а[ I/, с/ , МОжестественные преобразования над категорией формул и ОЕП над К ,
ется от понятия "графа" из [18]- ввиду наличия у нас различных пере-