О распределении значений коротких сумм

• Автор: Нгонго Исидор Серафим
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

I О распределении значений сумм характеров

§ 1 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простому модулю

1.1.1 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простым числам

1.1.2 О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по “сдвигам” простых чисел

1.1.3 О распределении значений сумм характеров абелевых групп

§ 2 О распределении значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы
1.2.1 О короткой показательной рациональной тригонометрической сумме по “сдвигам” интервалов суммирования

1.2.2 Непрерывный аналог

§3 Сумма характеров Дирихле по значениям показательной

функции
1.3.1 Распределение значений коротких сумм характеров Дирихле от показательной функции по “сдвигам” интервалов суммирования
1.3.2 Распределение значений коротких сумм характеров Дирихле от показательной функции
§ 4 Аналог теоремы Эрдеша - Давенпорта

1.4.1 Распределение значений коротких сумм символов Лежандра от показательной функции
1.4.2 Распределение значений коротких сумм символов Лежандра от показательной функции по “сдвигам” интервалов суммирования
II Асимптотика дробных моментов специальных сумм
§ 1 Общая теорема
§ 2 Арифметические следствия
III О скорости сходимости к предельному распределению
§ 1 Оценка скорости сходимости в задаче
Эрдеша — Давенпорта
§ 2 Оценка скорости сходимости для сумм с быстрорастущей
функцией в экспоненте
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена исследованию распределения значений сумм периодических арифметических функций. Если длина промежутка суммирования “мала” по сравнению с длиной периода такой функции, то мы называем такую сумму короткой. Для слагаемых подобных сумм имеет место определенный закон независимости друг от друга. В связи с этим значения их будут распределены по некоторым вероятностным законам (нормальному, покаазтельному и др.).
В 1952 г. Г. Давенпорт и П. Эрдеш [6] доказали, что значения “коротких” сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону, если модуль символа Лежандра стремится к бесконечности и вместе с ним и длина промежутка суммирования стремится к бесконечности, но отношение их логарифмов стремится к нулю. Эти исследования были продолжены Ю. В. Линником и И. П. Кубилюсом [13].
В 1960 г. А. Г. Постников [18] вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев [21] и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Отметим, что аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лакунарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте [25], М. Кацем [47] - [48], А.Зигмундом [63], И. А. Ибрагимовым [65], В. Ф. Гапошкиным [66] — [67] и ДР-
В конце 90-х годов В. Н. Чубариков поставил задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм таких, как короткие суммы Гаусса, аналогов сумм Клостерма-на, сумм характеров Дирихле по простым, сумм коротких ра-
Глава 1. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СУММ ХАРАКТЕРОВ
Обозначим через Np{...} количество целых чисел 0 < а < р, удовлетворяющих условиям, которые будут указываться в скобках.

Тогда при р -А оо, h = h(p) -А оо, — —> О величина

Sh{a)
асимптотически имеет показательное распре-

деление с параметром I, т,о есть при каждом фиксирован ном у > О имеем

^ с у} [ е“2' <1у.

Доказательство. Найдем моменты порядка г величины £ для каждого г > 1:
1 ^ | 2г
Ар{г) = МС =-^к~1,2ЗДа) =

1 / (дх1 + а) • • • (дХг + а)

Ьбр ■“ , V (дХт+1 + а) • ■ ■ (дХ2г + а)
0=0 Г1,...,®2г =
Г + а) ■ ■ ■ (дХг + а)
,.^,=1 ЬГр Ь Х V ^"г+1 + а) • • • ^ + а)
Л ( [бХ1 + а) • • ■ [дХт + а)
х1(.^г=1 кГр Ь Х V ^"Г+1 + а) • ■ • ^ + а)
— 7Ч-(Л + ^2 + /з), пгр
где в сумму /3, в = 1, 2,3, входят наборы (ад,..., Х2Г) из класса К8. Класс К состоит только из тех наборов, для которых