Категории Фукаи, модели Ландау-Гинзбурга и гомологическая зеркальная симметрия

• Автор: Ефимов, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Оглавление
0.1 Введение
1 Предварительные сведения об АХ1 -(пред)-категориях и теории
Муавра-Картана
1.1 Предварительные сведения об Д*, -(пред-)категориях
1.1.1 Неунитальные Л^ -алгебры и Аж -категории
1.1.2 Тождественные морфизмы
1.1.3 Аоо -пред-категории
1.2 Теория Муавра-Картана для про-нильпотентных БС алгебр Ли
1.3 Лоо -структуры и формальные поливекторные поля
2 Доказательство гипотезы Концевича-Сойбельмана
2.1 Основная теорема
2.1.1 От существенно малых к малым
2.1.2 Минимальные модели
2.1.3 Когомологии Хохшильда малых градуированных пред-категорий
2.1.4 Основная лемма
2.1.5 Лоо- структуры на градуированной пред-категории
2.1.6 Теорема инвариантности
2.1.7 Доказательство основной теоремы
2.2 Скрученные комплексы над Л^- пред-категориями
2.2.1 Группоид Муавра-Картана и теорема инвариантности
2.2.2 Корректность определения скрученных комплексов и их инвариантность относительно квази-эквивалентностей

3 Гомологическая зеркальная симметрия для кривых рода д > 3
3.1 Классификационная лемма для поливекторных полей
3.2 Классификационная теорема для АГХ1 -структур
3.3 Категории особенностей и матричные факторизации
3.4 Минимальная Ас0 -модель для Вы
3.5 Теорема о восстановлении
3.6 Эквивалентность двух ЬС моделей
3.7 Общие сведения о категориях Фукай
3.7.1 Определение
3.7.2 Генераторы в категориях Фукай
3.7.3 Дополнительные Z -градуировки
3.7.4 Категории Фукай орбиобразий
3.8 Категория Фукай кривой рода д >
3.9 Аппендикс
0.1 Введение
Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Концевичем [Ко1]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с Аж -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.
Изначально, она была предложена Концевичем [Kol] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Db(X). Замечательная конструкция К. Фукай [F] связывает с симплектическим многообразием X ( Z или Z/2 )градуированную категорию. Ее объекты — это Лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность
Db(X) ^ Dn(F(X)), (0.1.1)

где 0~(У~(Х)) — категория совершенных комплексов над Д» -категорией Х(Х). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [АБ, Р2, ЭеЗ].
Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01], [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным анти-каноническим дивизором [Аи].
Кацарков [Ка, ККР, ККОУ] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно направление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Бе1].
Строго говоря, если М —это симплектическое многообразие, то Т(М) —это не настоящая /1Ю- категория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лагранжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только для трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Т(М) — это А«, -пред-категория в смысле Концевича и Сойбельмана [КЗ]. Различные версии и аспекты А1=0- пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Бе2].
Для того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить А^- пред-категорию Фукай на квази-эквивалентную настоящую Ато- категрию. Ясно, что каждая Аао- категория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как А^,- пред-категория. Концевич и Сойбельман [КБ] сформулировали следующую естественную гипотезу.
Гипотеза 0.1.1. ([КЗ])Пустъ к — градуированное коммутативное кольцо. Тогда классы квази-эквивалентности Ага- пред-категорий над к находятся в биекции с классами квази-эквивалентности Аоо- категриий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.
Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.
• Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых А-бесконечность пред-категорий над

2.1.7 Доказательство основной теоремы
Прежде, чем доказать основную теорему, мы отметим еще одно обстоятельство.
Лемма 2.1.18. Пусть ф : С —* Т> — эквивалентность градуированных пред-категорий. Пусть т,т' — некоторые Аа- структуры на С и V соответственно. Следующие утверждения эквивалентны:
(г) Функтор ф может быть продолжен до Аса-функтора Ф : (С,т) —> (2), т');
(п) А00- структуры т и ф*{т') сильно гомотопны.
Доказательство. Это очевидно. □
Доказательство теоремы 2.1.2. Согласно леммам 2.1.3 и 2.1.5, нам достаточно доказать, что классы квази-эквивалентности малых минимальных Аоо- категорий находятся в биекции с классами квази-эквивалентности малых минимальных А^- пред-категорий.
Любая Дх,- категория С может также рассматриваться как Д-оо" пред-категория с С4" = ОЬ(С)п. Ясно, что если С и Т> — квази-эквивалентные минимальные Аоо- категории, то соответствующие минимальные Аоо- пред-категории также квази-эквивалеитны.
Теперь, пусть С — минимальная Ато- пред-категория. Обозначим через т Аос- структуру на С9Г, соответствующую С.
Мы имеем эквивалентность градуированных пред-категорий есяг : С°г —» С9Ги11. По теореме 2.1.15, существует А□<,- структура т на Сд^и11, такая, что А^- структура ССдг{гп) сильно гомотопна т. По лемме 2.1.18, функтор ьсв*• может быть продолжен до квази-эквивалеитпости С —» (С9Ги11,т). Таким образом, стартуя с минимальной Аоо- пред-категории, мы построили некоторую минимальную Аса- категорию С, вместе с квази-эквивалентностыо С —> С. Нам остается доказать, что, стартуя с квази-эквивалентных Ает- пред-категорий, мы получим квази-эквивалентные Аоо- категории.
Пусть Р: С —> V — квази-эквивалентность минимальных А(х,- пред-категорий. Функтор между градуированными категориями : С9Г —> Т>9Т, очевидно, продолжается до функтора Фх : С9Тп11 —» П9^и11, так что мы имеем коммутативную диаграмму функторов: