Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа

• Автор: Газданова, Марина Алтеговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 60 с. : ил.

1 Обозначения и предварительные результаты

1.1. Обозначения в группах лиева типа

1.2. Свойства строго вещественных групп

2 Регулярные унипотентные элементы

2.1. Предварительные леммы

2.2. Строгая вещественность регулярных унипотент-ных элементов

3 Доказательство основной теоремы

3.1. Исключительные группы и группы больших рангов

3.2. Группы малых рангов

Список литературы

Нормальные н скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn(K)— группа верхних унитреугольных п х п - матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские р -подгруппы, когда К—поле характеристики р. Подгруппа UTn(K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn(K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.
Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.
Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.
В 1995 г. A.A. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn(K) над полем К = GF(2), т.е. гипотезу о вещественности группы UTn(2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn{2). В 1998 г. И.М. Айзекс и Д. Карагуиузян [14] привели пример матрицы А из группы иТ^(2), которая не сопряжена в группе С/2~1з(2) со своей обратной, тем самым гипотеза A.A. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе UT^(2) существует единственная пара обратных сопряженных классов
(с представителями Ап А *) [18].
В силу результатов Д.З. Джоковича [19] (1967 г.) , П.Х. Тьепа и
А.Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе ЄЬп{2т) все уни-потентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в СЬп{К) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипогент-иые элементы из специальной линейной группы 5ДП(2т) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы РЗр2п(К) для любого поля К характеристики
2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И.М. Айзекса и Д. Карагуиузяна получаем, что в силовской 2-подгруппе *?2 строго вещественной группы Р5'р2п(2т) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе
Я.Н. Нужин записал в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 16.76].
Одним из основных результатов работы является
Теорема 1. Пусть и — унипотентная подгруппа группы лиева типа Є ранга I над полем К характеристики 2.
Подгруппа и не является строго вещественной если:
1) тип Є равен 2Ац, I > 1, 2-Вг, 2К;
2) I > 13 и тип (7 равен Аі-, Ві, Сі, Д, 2А2г_і, 2Д+і;
3) в поле К существует элемент р такой, что многочлен Х2+Х+р неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип Є равен Д, Ее, Еі, Е^.
4) в подполе неподвижных элементов Ко существует элемент ро такой, что многочлен X2 + X + ро неприводим в Ко[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип Є равен 2Е§.
Подгруппа и является строго вещественной, если I < 4 и тип Є отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип С равен Аі и1 = 5,6.
Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на указанный выше вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга I при I < 4 и I > 13 , а для типа А; и при I — 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент р такой, что многочлен Х2+Х+р
Глава 3. Доказательство основной теоремы

становиться лесом (Рисунок 3.2.10).
г2 + Г3 + Г 4 + г 5 + Г6 Г3 + г4 + Г5 + Г6
Рисунок 3.2.10.
1.5.1. Если Ьп = ЬТь = 1Гб = 0, то, сопрягая и элементами хп, хГ2, хи, получим 1-7*2 ~ ^Г2*тгз ^гз+?*4 ” ~ьг2“Ьгз — 0, и граф коммутативности является лесом.
ф 1.6. Пусть £Г1 = иб = 0 и коэффициенты и2ДГзДиДГ5 отличны от
нуля.
Если J = {г2,гз,Г4,г5} С П, то подгруппа LJ изоморфна унипотент-ной подгруппе типа А*. Коэффициенты где гг- £ J, отличны от нуля, следовательно, проекция й элемента и на подгруппу LJ есть регулярный унипотентный элемент в группе Д/, и существует элемент в £ такой, что
и = || хт.(Д.) || хГ1{иг),
г}£3 г4еФ+-Ф}