Многообразия разрешимых решеточно упорядоченных групп

• Автор: Гурченков, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 74 c. : ил

Глава I. НАКРЫТИЯ £-МНОГООБРАЗИЙ

§ I. Разрешите накрытия £-многообразия (Хе,

§ 2. Накрытия в решетке всех £-многообразий

Глава 2. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ ЕАЗЙРУЕМОСТИ В МНОГООБРАЗИИ ЖЕСТКО

УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУШ

§ I. Многообразия нильпотентных £-групп с бесконечным

аксиоматическим рангом

§ 2. Неконечно базируете многообразия жестко упорядоченных

групп с конечным аксиоматическим рангом

Глава 3. РЕШЕТКА ПОДМНОГООБРАЗИЙ £-МНОГООБРАЗИЯ

§1. Строение конечно-порожденных подпрямо неразложимых

£-групп в £-многообразии р
§2. 0 расщепляемости конечно-порожденньгх £-грулп из
£ -многообразия
§3. Описание решетки подмногообразий £-многообразия
^ р
ЛИТЕРАТУРА

Теория многообразий решеточно упорядоченных групп является важным интенсивно развивающимся разделом общей теории решеточно упорядоченных групп. Изучение многообразий решеточно упорядоченных групп было начато в работах одного из создателей теории решеточно упорядоченных групп и теории многообразий алгебраических систем Г. Биркгофа в конце 40-х годов [1] ,[21]. Не менее важное значение для теории £-многообразий имеют работы А.И. Мальцева по теории алгебраических систем и непосредственно по теории упорядоченных групп [2 - 4 ] .
В период 50 - 70-е годы изучение £-многообразий заключалось в основном в установлении тождественных соотношений на конкретных классах решеточно упорядоченных групп. Так, в работах П.Г. Конторовича и K.M. Кутыева [51 , П. Лоренцена
[22] , Ф. Шика [23] найдены тождества, задающие многообразие öd о-аппроксимируемых £-групп. В работе С. Воль-фенштейна От найдено тождество, задающее многообразие iTe всех [-групп с субнормальными скачками выпуклых £ -подгрупп. В [6] , [2 5] получено описание свободных
абелевых Ч -групп, из которого следует, что класс всех абелевых решеточно упорядоченных групп СИ £ является наименьшим нетривиальным [-многообразием.
Систематическое изучение [ -многообразий началось в начале 7Ох годов практически одновременно как в Советском Союзе, так и за рубежом, и в настоящее время теория [--многообразий развивается в работах В.М. Копытова, Н.Я. Медведева, автора, Ч. Холланда, А. Гласса, С. Маклери, Дж. Мартинеса,

Н. Рейли, Е. Скримджера, Дне. Смит, К. Фокс и др.
Диссертация посвящена изложению ряда результатов, относящихся как к строению решетки многообразий решеточно упорядоченных групп, так и к общей теории £-многообразий. Акцент сделан на многообразия разрешимых решеточно упорядоченных групп. Актуальность изучения многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп вытекает из следующих важных результатов, полученных Ч. Холландом [26] иЧ. Холландом, А. Глассом, С. Маклери [г?] : Многообразие решеточно упорядоченных групп с субнормальными скачками выпуклых [-подгрупп является наибольшим собственным [ -многообразием и представимо в виде лс-у( си » где а, - многообразие
С «,=-1 С О
всех абелевых решеточно упорядоченных групп.
I. Напомним, что [-многообразие /Щ, накрывает С-многообразие 7Г9Х. , или "ЩX минимально над Ж ,

если, во-первых, ''ШЬ ^ ЪТУЧ , и, во-вторых, для любого £ -многообразия и такого, что те ги е ж , имеем т-Ч или т~и
В первом параграфе первой главы изучаются накрытия многообразия СИ, абелевых [-групп. Ранее Е. Скримджером 1281 было построено счетное множество многообразий разрешимых [-групп , где р простое число ^ , минимальных над [-многообразием ОТ.£ • Все многообразия 8р метабелевы и не являются о-аппроксимируемыми. Позднее Н. Я. Медведев в И нашел три о-аппроксимируемых двуступенно разрешимых [-многообразия, накрывающих 01 ^ , и показал, что любое многообразие разрешимых о-аппроксимируемых групп, минимальное над [ -многообразием , совпадает с од-

CGm&)> Cg(GU)) = Cg(G)
Предложение 2.1. Пусть С С- ЗЄ , О- Є С (s : ) ,
pc = к ( G) , u-i,.-.,'ueve G- . Тогда найдется элемент і . ье Gif" , такой, что
І> [аЬ7и£-] = е , і- , n.
Доказательство. Заметим, что для любых элементов
из cG Ca(Gi)
необходимо имеем . Действительно, [-подгруппа [(ос,^) ,очевидно, нильпотентна, и, следовательно, о-аппроксимируема, но так как^А^р~
= (Л р > гДе 0^ - многообразие всех о-аппроксимируемых [-групп, то получаем [(ос.гре 01 ^ . Таким образом,
предложение, ввиду лети 1.5, достаточно доказать в предположении = * Доказательство ведем
индукцией по величине ортогонального ранга [-групп из Зс
При o(G) = 1 утверждение очевидно. Пусть предлолсение
справедливо для всех [-групп н из ОС С o(H) Г ~ О / 0 /~ < *5->
Ж - / , имеем элемент о0 е такой,
^ (jjчто 1 s} .Используя леммы 1.2, 1.3 получаем равенства
1 + Q.+-... + Q ,р~'1
2) oLi ь = Є , i е S ,
3) d.* dj - cLt dj^ 7 i,j€ S
Любой элемент dL e GC^G , І G G , представим в виде

1», . nGq
4) di- П (ЧЖ . где Ь1ає G„„
S6IM5
<0 = C<51,... , ") e
J D < G- >

Будем искать элемент cl из В < G >