Стратификация пространств функций на комплексных кривых

• Автор: Бычков, Борис Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Пространство Гурвица

1.1 Пространства Гурвица и их стратификация

1.2 Задача Гурвица

1.3 Компактификации пространств Гурвица

1.3.1 Конусы главных частей

1.3.2 Допустимые накрытия

2 Детские рисунки Гротендика

2.1 Функции и пары Белого

2.2 Шестиреберные рисунки рода три с единственной вершиной

2.2.1 Морфизм факторизации
2.2.2 Перечисление детских рисунков
2.2.3 Детский рисунок с ^-симметрией
2.2.4 Детские рисунки с ^-симметрией
2.2.5 Пары Белого детских рисунков с ^-симметрией
2.2.6 Детские рисунки с /^-симметрией
2.3 Накрытия с четырьмя точками ветвления
2.3.1 Действие группы кос Гурвица
2.3.2 Мегакарты
2.3.3 Описание алгоритма
2.3.4 Результаты вычислений
3 Обобщенные числа Гурвица
3.1 Разложения перестановки в произведение перестановок . .
3.1.1 Числа Буске-Мелу-Шеффера
3.1.2 Перестановки фиксированной вырожденное
3.1.3 Доказательства
3.2 Производящие ряды обобщенных чисел Гурвица
3.2.1 Производящий ряд чисел Буске-Мелу-Шеффера . .
3.2.2 Интегрируемые иерархии
3.2.3 Групповая алгебра С5„
3.2.4 Операторы на центре групповой алгебры ZCSn

Обозначения
и - п — разбиение натурального числа п на слагаемые: п = ^х+.. -+щ, < ^2 < ■ • • < — части разбиения.
Ь — 1{у) ■— длина разбиения.
|ц| = п.
Рг,..., цг — также разбиения числа п, если не оговорено противное.
1"‘12'"2... пГПп — запись разбиения и I- п в мультипликативной форме; 7П1 + 2т2 + .. + птп = п.
к{у) = и —1{у) — вырожденность разбиения ы У- п.
р,1,..., цг] ■— набор разбиений, паспорт разветвленного накрытия.
Л4д п — пространство модулей комплексных кривых рода дсп отмеченными точками.
■Мд,п — компактификация Делиня-Мамфорда пространства модулей комплексных кривых рода дсп отмеченными точками.
ИдМ, ,кп — пространство Гурвица мероморфных функций на комплексных кривых рода д с набором кг,... ,кп кратностей прообразов критического значения оо.
,кп — пополненное пространство Гурвица -иг — страт дискриминанта пространства Гурвица РНд^, ,А:„) состоящий из функций, имеющих ветвления предписанных типов цг,...,цг над вырожденными критическими значениями.
Ьд,Кг — количество классов изоморфизма разветвленных накрытий двумерной сферы поверхностью рода д с г точками ветвления произвольных типов ветвления и выделенной точкой ветвления с данным типом ветвления и = {гд,..., м4}.
Ьао(г) — количество разложений перестановки сгр £ Зп в произведение г перестановок (некоторые из которых могут быть тождественными), удовлетворяющих следующим условиям:
(а) группа, порожденная этим набором из г перестановок, действует транзитивно на множестве из п элементов;
(б) соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.
^1/ — функция Шура разбиения и.
сйт„ — размерность неприводимого представления симметрической группы 5П, соответствующего разбиению V числа п.
Си — множество перестановок циклического типа V в группе
Хи — характер неприводимого представления симметрической группы 5П, соответствующего разбиению и числа п.
Ри — Ри, ■ ■ • Рщ„) — параметры производящих функций.

с(ш) — содержание клетки ю диаграммы Юнга.
Кб — групповая алгебра конечной группы С над полем К.

На рисунке 4 изображено последовательное сведение рассмотрения детского рисунка рода 3 к детскому рисунку рода 0. Стрелка с /£2 означает, что мы склеиваем противоположные стороны двенадцатиугольника по стрелкам. При этом каждое ребро «ломается» в середине (потому что стороны двенадцатиугольника мы считаем ориентированными), и его половинки должны склеиться в одно ребро.
Функция Белого полученного детского рисунка рода 0 хорошо известна: / = ж6, причем, она поднимается на кривую у2 = х(х6 — 1).
2.2.4 Детские рисунки с ^-симметрией
Исследуем плоские проективные алгебраические квартики с симметрией третьего порядка. Изначально, вообще говоря, не ясно, почему кривые, соответствующие этим детским рисункам не гиперэллиптические. Однако, поскольку пара Белого детского рисунка единственна (если она существует), а в этом случае (не гиперэллиитическом) найдены пары Белого всех имеющихся детских рисунков, то других не существует и пробела в рассуждениях нет.
Рассмотрим диагональные 3x3 матрицы, у которых на диагонали
2ттгку
стоят числа е з , 3 = 1, 2,3, к] Є {0,1, 2}. Всего таких матриц З3 = 27, но если рассматривать их с точностью до умножения на константу и не учитывать скалярные матрицы, то останется всего 3 типа: с двумя единицами и е~ на диагонали (тип 1), с двумя единицами и е~ на диагонали (тип 2) и тип 3 — когда все три кубических корпя из 1, стоящие на диагонали, различны.
Утверждение 2.10. Каждый автоморфизм проективной плоскости СР2, имеющий порядок 3, проективно эквивалентен автоморфизму с матрицей одного из этих трех типов.
Доказательство.
Лемма 2.11. Жорданова нормальная форма матрицы автоморфизма проективной плоскости СР2, имеющего порядок три, диагональна.
Доказательство леммы.
Возможны три случая: 1) матрица диагональна, 2) получились две жордановы клетки и 3) получилась одна клетка. Рассмотрим эти возможности, учитывая, что так как симметрия имеет порядок 3, то матрица в третьей степени должна быть равна матричной единице.
/а 1 0 3 /а3 За2 0
2) I 0 а 0 I = 0 а3 0 . То есть она диагональна только
о о ь) о о ь3)
при о = 0, что влечет за собой вырожденность матрицы автоморфизма,