Кратное отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей

• Автор: Данилова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 77 с.

Глава 1.

Комплексное отображение Абеля-Якоби

1.1. Компактные римановы поверхности

1.2. Симметрические произведения

1.3. Дивизоры и линейные расслоения

на римановой поверхности

1.4. Отображение Абеля-Якоби и его степени

1.5. Слои кратного отображения Абеля-Якоби

для гиперэллиптических поверхностей

Глава 2.

Вещественное отображение Абеля-Якобй

2.1. Вещественная структура на комплекЬйых
геометрических объектах
2.2. Вещественные римановы повё^йости
2.3. Симметрические произведения пространств
с инволюцией
2.4. Кратное отображение Абеля-Якоби для
гиперэллиптических поверхностей
2.5. Гиперэллиптические поверхности рода 2 и
Заключение
Литература

Диссертация посвящена геометрии вещественных алгебраических кривых. Исторически вначале рассматривались именно такие кривые. Однако незамкнутость поля вещественных чисел порождает некоторые трудности в разработке этой темы. С другой стороны, комплексные алгебраические кривые, благодаря замкнутости поля комплексных чисел, были изучены более подробно. Одним из методов изучения комплексных алгебраических кривых является отображение Абеля-Якоби. Это отображение возникло вначале в рамках анализа в связи с изучением эллиптических и абелевых функций, которые, в свою очередь, возникли из эллиптических и абелевых интегралов. В дальнейшем природа возникновения отображения Абеля-Якоби была фактически забыта, хотя классическое его определение по-прежнему дается через интегралы. Чтобы связать тему диссертации с предыдущими исследованиями, мы вернемся к истокам возникновения отображения Абеля-Якоби из интегралов от алгебраических функций.
Рассмотрим интегралы вида
где Q(x) — многочлен с вещественными коэффициентами без кратных корней степени 2d ^ 6, а Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами степени ^ d — 2. Ограничение, накладываемое на степень многочлена Р(х), обусловлено методами, применяемыми для изучения этих интегралов. Если интеграл (1) комплексифицировать, т.е. считать, что переменная х комплексная, то задача изучения этого интеграла упрощается благодаря рассмотрению римановой поверхности 5, заданной уравнением у2 = Q(x). Тогда мы можем заменить неопределенный интеграл (1) на криволинейный интеграл
с переменным верхним пределом по кривой Г(р) на римановой поверхности 5, соединяющей фиксированную точку ро € в с переменной точкой р (Е Б
(1)
f ^-dx + C, J У
(2)
Г(Р)

(см. рис. 1.) Если добавить к римановой поверхности 5 С С2 на бесконечности две точки, то она будет представлять собой с точки зрения топологии сферу с д — <1 — 1 ручками (см. рис. 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Эта поверхность, с индуцированной на ней комплексно аналитической структурой, называется компактной гиперэллиптической поверхностью рода д, мы будем обозначать ее также через 5. Комплексные интегралы вида (2) на римановой поверхности 5 изучались в XIX веке.
Рассмотрим теперь базисные интегралы вида (2)
Они задают отображение р : 5 —> С9, определяемое с помощью равенства
Это отображение является многозначным, так как интегралы (3) зависят от формы кривой Г(р), соединяющей точки ро,р. Чтобы избавиться от многозначности отображения ц поступают следующим образом.
Если заменить кривую Г(р) на другую кривую Г (р), также соединяющую точки ро, р, то каждый из интегралов (3) будет отличаться на интеграл по
(3)
г (р) г (р)
Г (р)

где в : J —>■ J—вещественная структура на многообразии Якоби J, индуцированная вещественной структурой т на S. Это утверждение вытекает из равенств
т(р) т(р) т(р) т(р)
ц(т(р)) = ( J шъ ..., J mod А = ( J j mod А
Ра Ра т(р„) т(ро)
Р р р р
= ^ J r*(o;i) J т*(сод)^ mod А = ^ Jйц Jmod А
Ро Ро Ра Ро
~Р Р
= ( ..., j mod А = в(р(р)).
Ро Ро
Сделаем небольшое замечание о вещественных дивизорах на компактной римановой поверхности S.
Рассмотрим компактную риманову поверхность S с вещественной структурой т : 5 —У S, где т — антиголоморфная инволюция. Обозначим через Pic S, Pic(S, т) — группы комплексно-аналитических линейных расслоений, через О, 0*s — пучки ростков голоморфных функций. Заметим, что инволюция т действует на группе дивизоров Div(S), так как если р — точка поверхности S, то и т(р) — также точка этой поверхности и, следовательно, получаем инволюцию
т* : Div(S) -> Div(S).
Пусть D — дивизор, инвариантный относительно т*. Тогда на пучке O(D) имеется каноническая вещественная структура, а именно, положим в(р) = рот, где р — росток мероморфной функции, такой, что [p)+D > 0, а черта означает комплексное сопряжение. Соответствующее линейное расслоение, как и выше, мы обозначим через Тогда мы имеет место гомоморфизм
: Div{S)T* Pic(S, т).