Статистические и экстремальные свойства цепных дробей

• Автор: Авдеева, Мария Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 69 с.

Список обозначений

Глава I. Задача В.И. Арнольда

§1 Таблицы Евклида

§2 Соответствие Хейльбронна

§3 Вспомогательные преобразования

§4 Применение оценок сумм Клостермана

§5 Применение преобразования Абеля

§6 Асимптотическая формула для задачи В.И. Арнольда

Глава II. Теорема Валена

§1 Локальные минимумы полных решеток

§2 Теорема Валена для двумерных решеток

§3 Минимальные базисы и матрицы
§4 Теорема Валена для приведенных матриц первого типа
§5 Теорема Валена для приведенных матриц второго типа
§6 Теорема Валена для минимальных базисов и совместных
приближений
Литература

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
1) Запись [яо; х аг4] обозначает цепную дробь

*0 + ;
хг +
X §
ДЛИНЫ 5 С формальными переменными Хо, ..., х8.
2) Для рационального г

есть (каноническое) разложение г в цепную дробь с = [г] (целая часть г) и неполными частными которые являются
натуральными числами. При этом всегда ^ 2 для я
3) Для натурального к, л^(г) есть количество всех неполных частных и (г = 1 я) из 2), совпадающих с к.
4) Для х £ [0,1], я* (г) есть количество всех номеров г £ {1 я}, у которых [0;г,-,... ,<*] ^ х. В частности, я = я(г) = яДг) и для натурального к
8Щт) = 8/к{г) - *1/(*+1)(г).
5) Для натурального (к, звездочка в

подразумевает суммирование по допустимым а с НОД(а, й) = 1.
6) Функция Мебиуса д : N —► {0, ±1} : д(1) = 1; /х(д) = 0, если д делится на квадрат натурального, большего 1; ц{д) = (—1)г, где £

есть количество простых делителей бесквадратного д.
7) Сумма степеней делителей:
а<*{ч) = Y2dadq
8) Функция Эйлера:
Л) = Е'1 = « Ечг
dq
9) Для множества М., запись фМ обозначает количество элементов М. с фМ = оо для бесконечного ЛЛ.
10) Для натурального q, как обычно, Z/gZ есть кольцо классов вычетов по модулю q. Иногда, в зависимости от контекста, под Z/gZ будет пониматься система представителей классов вычетов типа:
{a е Z | — g/2 < а < д/2} , {a S Z | 1 < а ^ д} ,
11) Для вещественного а, ||а|| есть расстояние от а до ближайшего целого.
12) Для натурального д и целого а с НОД(а, д) = 1, целое а однозначно определяется из условий:
аа = 1 (mod g); —g/2 < a ^ g/2.
13) Для функций f(x) и g{x) ^ 0, запись /(х) = Oaiv..iQr,(g(x)) означает существование положительной константы C(ai at), зависящей только от параметров ац,... , а(, для которой в области определения fug
|/(х)| < C(au...,at)g(x).
Запись f{x) — 0(g{x)) предполагает абсолютную константу С > 0.
Сопоставим каждому базису 7,7',7" решетки Г матрицу
(Ъ 71 71Л М = М{7,7', 7")= 72 7^ 7"
7з 7з 7з;
с |сЫ;(М)| = 1)(Г). Любая невырожденная матрица М определяет некоторую решетку Г(М) с базисом, составленным из столбцов матрицы М. По определению, назовем М минимальной матрицей, если ее столбцы составляют минимальный базис решетки Г(М). Обозначим через Л43 конечную группу матриц порядка 48, соответствующих преобразованиям IV из (3.1). Из определений немедленно следует
Замечание 2. Если М минимальная матрица, то М' = ТМТз также минимальна для любых Т и Т2 из М. 3.
Рассмотрим матрицы вида
(3.3)
с положительными х,-, у,-, я,-, у которых:
(1) тах^ь^} ^ ?/1, тах{?/2,22} ^ х2, шах{х3, у3} < 23;
(й) для матриц первого вида выполняется по крайней мере одно из неравенств
2 < хь У2 ^ х2;
(ш) для матриц второго вида выполняются неравенства
Уз < х3, Х2<г/2 + 22.
(Х1 -2/1 2 ^ (хх —2/1
Х2 2/2 -22 5 Х2 У
х3 2/з 2з ) х3 УЗ 23
ТЕОРЕМА 3. Любая минимальная матрица М с ненулевыми эле-