Абелевы группы с большим числом эндоморфизмов

• Автор: Чехлов, Андрей Ростиславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 177 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений и некоторые определения

Введение

ГЛАВА I. Вполне транзитивные группы без кручения

§ 1. Некоторые свойства вполне транзитивных групп

§ 2. Вполне транзитивные группы, все ненулевые эндоморфизмы

которых есть мономорфизмы

§ 3. Вполне транзитивные группы с условиями на типы элементов

§ 4. Разложимые вполне транзитивные группы без кручения

ГЛАВА II. КВАЗИСЕРВАНТНО ИНЪЕКТИВНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ

§ 5. дсрг-груплы без кручения
§ 6. Прямые произведения и прямые суммы дсрг-групп
§ 7. Квазисервантно инъективные группы без кручения
§ 8. Слабо квазисервантно инъективные группы без кручения
ГЛАВА III. сз-ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
§ 9. Строение сз-групп без кручения
§ 10. Квазиоднородные ся-группы
§ 11. св-группы без кручения конечного р-ранга
ГЛАВА 1У. Смешанные дс-группы и св-группы
§ 12. Некоторые вспомогательные результаты
§ 13. Свойства дс-групп
§ 14. Смешанные св-группы
§ 15. Некоторые группы, близкие к св-группам
ЛИТЕРАТУРА
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
0 пустое множество
Qp группа (кольцо51 целых р-адических чисел
N множество всех натуральных чисел
Z кольцо целых чисел
® А прямая сумма т копий группы А

Z(n) циклическая группа порядка п
Ext, Pext группа расширений, сервантных расширений
fG ограничение гомоморфизма / на G
гр(А) р-ранг группы А, т.е. ранг факторгруппы А/рА
(;р - некоторое фиксированное простое число)
Е(А) кольцо эндоморфизмов абелевой группы А
7Г(А) множество всех простых чисел р
со свойством рА ф А
{... )А, (...)(’ подгруппа и сервантная подгруппа в группе А,
порожденные ... (индекс А иногда опускается)
Сд, G~a замыкание в Z-адической и в р-адической топологии
подгруппы G, индексы Аир иногда опускаются
cs-подгруппа, сервантная подгруппа, замкнутая в 2-адической
ср-подгруппа (соответственно - в р-адической) топологии
G С csA, G С срА G - замкнутая в 2-адической
(соответственно - в р-адической) топологии сервантная подгруппа группы А
hp(a), о(а) соответственно р-высота, порядок
элемента а в группе А
Ха(л), £д(д) характеристика, тип элемента а
в группе без кручения А
множество всех элементов а группы А

со свойством ЬНа) = оо (= П РпА)

А1 ульмовская подгруппа группы А (= П пА)

А(х) множество всех элементов а группы
без кручения А со свойством Хл(а) ^ XI аналогично определяется подгруппа А(Ь), где хА ~ соответственно характеристика, тип
Яр класс всех групп А без кручения
таких, что риА = О
Нр(а),Тр(а) р-характеристика, р-тип
элемента а группы А 6 Яр
множество типов всех ненулевых элементов группы без кручения А
периодическая часть смешанной группы А
класс всех редуцированных групп А, у которых тип каждого ненулевого элемента сравним с некоторым максимальным типом из Т(А)
класс всех редуцированных групп без кручения, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы
Группа называется редуцированной (р-редуцированной), если она не имеет ненулевых делимых (р-делимых) подгрупп. Топология в абелевых группах называется 2-одической, если базу окрестностей нуля образуют подгруппы пА (п е 2, п ф 0); р-адической, если базу окрестностей нуля образуют подгруппы ркА (к = 0,1,2,...), р - фиксированное простое число.
Подгруппа й группы А называется сервантной (р-сервантной), если п(? = СгтЛ (р*б = й П ркА) для любого п е 2 (А: = 0,1,2,...).
Подгруппа С группы А называется существенной, если В П ф 0 для любой ненулевой подгруппы В группы А.
Если В - подгруппа в группе А, то максимальная подгруппа в А, не пересекающаяся с В, называется В-высокой.
Редуцированная группа без кручения С называется квазиоднородной, если тг(С) = п (А) для любой ее ненулевой сервантной подгруппы Л; связанной, если все ее факторгруппы по ненулевым сервантным подгруппам делимы.
Используемые основные обозначения и термины приведены в введении и соответствуют [27].

Введение

определяемая по группе А сэ-группа со свойством р“Аг — 0 для некоторого простого pi, являющаяся Либо рг-группой, либо группой без кручения, либо смешанной группой из предложения 14.1 или 14.2, а А - такая сервантная подгруппа в 5, что Е{А) С £'(5) и Е(А) содержит хотя бы один представитель из каждого класса эквивалентных идемпотентов кольца Е(3).
В заключение в работе доказываются две новые характеризации алгебраически компактных групп. Так, справедлива
ТЕОРЕМА 15.1. Группа А из Яр бесконечного р-ранга обладает свойством, что для любого разложения В = В © В2 каждой ее р-базисной подгруппы В имеет место разложение А = В{ ® В2 , где В~ - замыкание в р-адической топологии группы А ее подгруппы (г = 1,2), тогда и только тогда, когда А алгебраически компактна.
Подобный результат был известен для периодически полных групп [44]. Кроме того, доказывается, что абелевы группы, выделяющиеся прямыми слагаемыми в каждой группе, в которой они содержатся в качестве замкнутых в 2-адической топологии сервантных подгрупп, суть алгебраически компактные группы (теорема 15.3).
Основными результатами работы являются теоремы 2.7, 2.8, 2.9, 2.12, 4.5, 5.8, 5.12, 7.7, 7.9, 8.8, 8.11, 9.2, 10.1, 14.3, 15.3.