Двойные алгебры Ли

• Автор: Коновалова, Елена Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 189 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Классические r-матрицы для алгебр Ли малой размерности
1.1. Классические r-матрицы для 51(2, С)
1.2. Классические r-матрицы для трехмерных разрешимых алгебр Ли
ГЛАВА 2. Классификация решений MYBE для js!(2, С)
2.1. Предварительные замечания
2.2. Решение MYBE для sl(2, С)
ГЛАВА 3. О разложении sl(3, С) в прямую сумму подалгебр
3.1. Классификация подалгебр s[(3, С)
3.2. Разложениие $1(3, С) в прямую сумму двух подалгебр
ГЛАВА 4. Решения MYBE для st(3, С), не представимые в виде разности проекторов
БИБЛИОГРАФИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ В

ОБОЗНАЧЕНИЯ
g — алгебра Ли, G — ее группа Ли, А — Aut(g),
® — прямая сумма алгебр Ли,
4 прямая сумма алгебр Ли как линейных подпространств,
дх — {у Є g І [у, х = 0} — централизатор элемента х в алгебре g,
0К — {У Є g I [у> Л] = 0} — централизатор подпространства К в алгебре g, Gx = {g Є G І Аф,(а;) = х} — централизатор элемента х в группе G, normQ(K) = {х Є g | [х, К) С К} — нормализатор подпространства К алгебры g,
Aj = {Ф Є А | Ф(|) С f} — нормализатор подалгебры f в группе А,
Gf = {g Є G I g]g~l С f} — нормализатор подалгебры f в группе G,
F(X) = —Xі — автоморфизм Картана (X Є g),
F(X) = —X, где X — транспонирование относительно побочной диагонали, f — подалгебра g, f — подалгебра, сопряженная f относительно F, jf — верхний индекс означает размерность подалгебры, ieij}i,j=і “ стандартный базис в gl(3, С),
hl2 = Єн — Є22, Л-13 — Єн — Єзз, Л23 — Є22 ~ ЄЗЗ)
І) — подалгебра Картана,
п± — подалгебра верхнє (нижнє) треугольных нильпотентных матриц,
— подалгебра верхнє (нижнє) треугольных матриц (подалгебра Бореля), В± — подгруппа Бореля верхнє (нижне)треугольных матриц в G, m = Сеіз + Се2з — нильпотентная подалі’ебра, tn = Cei2 + Сеіз — подалгебра, сопряженная m относительно F,
2ti = Chu + C&i2 + Св2і и 2l( = СЛ-із + C(ei2 + е2з) + С(е2і + е32) — изоморфны 5[(2,С),
( * * Л о * л
р' - * * * -ц< II О * *
1° 0 °) О * *У
— подалгебра, сопряженная р' относи-
тельно Е, (

* * О
* * о
* * о ( * * *
* * *
0 *

* * *
о * * о * *
— подалгебра, сопряженная р' относительно Г,
— параболическая подалгебра,
параболическая подалгебра, сопряженная р относительно
Е — единичная матрица, Е' — матрица с единицами по побочной диагонали.

подпространств: д[(3, С) = 21і © т ® т£ ® СЄ33. Подалгебра Ли f — инвариантное относительно 21і подпространство размерности 5. Следовательно, а) ): = 21і ©т, б) = 21і © т£ или в) f = 21і ©2ЇЇ, где 2ХГ - двумерное подпространство вш® т£, инвариантное относительно 2ЇЇ ф т, 2ЇЇ ф т*. В случаях а) и б) f сопряжена р'. Покажем, что в случае в) f не является подалгеброй. Подпространство 233 порождается элементами р и р_і, где рі = віз + аез2 — старший вектор веса 1, р- = ас1(.,пр — Є23 — 0Є31 — младший вектор веса
-1, а Є С, а ф 0. Элемент [рі,р_і]
'-а 0 (Л
0 —а
не принадлежит f для
у 0 0 2аJ
аО. Следовательно, в случае в) f не является подалгеброй. □ Утверждение 3.12 Всякая подалгебра f размерности 6 алгебры s[{3, С) сопряжена параболической подалгебре р.
Доказательство.
Пусть f = 5 + г — разложение Леви, где з - полупростая подалгебра, х — разрешимый идеал в f. Поскольку dims = 3, то dimx = 3. Максимальная разрешимая подалгебра в f имеет размерность 5, следовательно, совпадает с борелевской подалгеброй. Следовательно, f сопряжена р. □
Утверждение 3.13 Подалгебр размерности 7 алгебры st(3, С) не существует.
Доказательство.
Аналогично утверждению 3.12, f D Ь+, следовательно, f = р или f = д. □ Из утверждений 3.6 - 3.13 вытекает следующая теорема.
Теорема 3.14 Всякая подалгебра f С д1(3, С), dimf > 2 сопряжена в смысле определения 3.2 одной из следующих подалгебр:

2. f I = С (/г, 12 — /ггз) + Сехз ;
3. ш = Сехз + Се23,'