Стабилизация высшей К-теории

• Автор: Нестеренко, Юрий Петрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 89 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ I. Гомологии групп. Категория пар

§ 2. Спектральные последовательности

§ 3. Симплициальные множества и гомологическое

умножение

Глава II. ГОМОЛОГИИ АФФИННЫХ ГРУПП НАД &(°°) -КОЛЬЦАМИ

§ 4. Определение и некоторые свойства ЙС00) -колец

§ 5. Изоморфизм гомологий линейных и аффинных групп

ГЛАВА I. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ви НАД

$0°) -КОЛЬЦАМИ

§ б. Симплициальные множества унимодулярных реперов

§ 7. Основная теорема о стабилизации
ГЛАВА ІУ. СТАБИЛИЗАЦИЯ И ПРЕДСТАБИЛИЗАЦИЯ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ
КОЛЬЦАМИ
1/М
§ 8. функтор Милнора іп для локальных колец
§ 9. Кольцо
§ 10. Теорема о стабилизации для локальных колец
§ II. Вычисление
ЛИТЕРАТУРА
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Теоремы о стабилизации играют важную роль в алгебраической К-теории. Классическими примерами таких теорем служат теорема Серра в [21] , теорема Басса о сокращении (см.[2]), известная проблема Серра, поставленная в середине 50-х годов и решенная в 1976 году независимо Суслиным и Квилленом.
Теоремы о стабилизации К-функторов утверждают, что последовательность нестабильных К-групп кольца К
К1,гМ— ... — К^(К) — К-,>1И.1(К)
стабилизируется при достаточно больших п . Граница стабильности зависит от А и удобно выражается в терминах стабильного ранга г кольца А ♦ В отличие от классических случаев 1-1 и 1=2. существуют различные подходы к определению высших нестабильных К -групп, наиболее плодотворными из которых оказались связанные с конструкцией Володина (см.[8],[22]) и плюс-конструкцией Квиллена (см.[16]).
Изучению стабилизации для функторов и К-, посвящено большое число работ, среди которых мы отметим [2],[6],[7],[10],
III] ,[24].
Основной результат этих работ был обобщен Суслиным в [22] для случая -групп Володина, совпадающих с классическими при 1 = 1 и 1 = 2. : для групп Володина Л(А!) при любом I
канонический гомоморфизм К^п (А) —=>- п+1 (Д4) сюрьективен при Г+1-1 и биективен при
Наиболее общие результаты в исследовании стабильности высших К -групп Квиллена К^п (Д) получены Ван дер Калленом в [13] и Суслиным в [22]. Для канонического гомоморфизма

К£. (А) —* в пеРвом случае гарантируется
сюрьективность при п ^ 2г. + тах 1)-1 и биективность при 2 + так(г-1Д) +1 , а во втором - сюръективность при п^- так (25г+г-1) и биективность при п> так (2^ + 1^ г+г).
Так как ввиду теоремы Гуревича, стабильность К^П(К) следует из стабильности Н(ТЕП(А)^) (при >2. ), то некоторым подходом к изучению стабилизации К -функтора Квиллена является изучение стабилизации последовательности групп гомологий , представляющей и значительный самостоятельный интерес.
Теоремы о гомологической стабилизации утверждают, что последовательность канонических гомоморфизмов групп гомологий
(А)32!) —ИСв1д2.(А2)-^ Иг(бЦСА1)^
стабилизируется при достаточно больших п , и определяют границу стабильности в терминах стабильного ранга г кольца А.
Так как стабильность Н* ((Зип(АЖ) следует из стабильнос-ти К*>п00 » то мы получаем для произвольного кольца А
границы гомологической стабилизации из выаеприведенных результатов Ван дер Каллена и Суслина. Для различных частных типов колец гомологическая стабилизация исследовалась многими авторами. Наиболее плодотворная техника, связанная с использованием различных симплициальных комплексов, была разработана в [17], [13],[4]. Известен неопубликованный результат Квиллена, состоящий в том, что для поля А , отличного от Еа. , канонический гомоморфизм *• Н-г (61_П (АЖ) Н (бЦ+1 (А Т)
является изоморфизмом при п^г + 1 .В работе Суслина [23] показано, что в случае бесконечного поля А канонический гомо-

Ё4М- И?(Б(еип_а(А))®^ ^ССО^).
Н^СвБп-^ (А^21) при с|>2.
и Е ^ = О при 0 ^
7.8. ЛЕММА. Пусть ^ : С(АП'*)(2.) ■> С(А") ~ ото“
бражение комплексов свободных абелевых групп, заданное на базисных элементах ССОССЦ следующим образом:
- << , е„_,, е„., + е»> + <^5... ,е, ,<Ц., + €^>
где &(
Г<*
Тогда ^ перестановочно с дифференциалами этих комплексов и с действием на них группы ^^(А') (которое на С(_Ап) индуцировано естественным вложением Си^^А) 91»п(А) ) и потому является гомоморфизмом комплексов £Еп_г(А)-модулей. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как индуцированное действие

на и 0^ тривиально, то перестановочность с
действием ОЕп_г(А) очевидна.
Обозначая через с] дифференциалы обоих комплексов, мы