Централизаторно факторизируемые группы

• Автор: Мулдагалиев, Вали Садихович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 99 c. : ил

Обозначения,определения и известные результаты

Глава I. Общие свойства иентрализаторно факторизуемых групп

§ I. Централизаторная факторизуемость и абелевость некоторых подгрупп иентрализаторно

факторизуемых групп

§ 2. Централизаторно факторизуемые группы с

абелевым коммутантом

§ 3. Локально конечные пентрализаторно факторизуемые группы. Теорема вложения

Глава II. Гиперциклические пентрализаторно факторизуемые группы с конечнопорожденным коммутантом

§ I. Предварительные леммы

§ 2. О конечно порожденной инвариантной абелевой подгруппе гиперпиклической группы

§ 3. Строение гиперииклических пентрализаторно

факторизуемых групп
Литература

Исследования групп по заданным свойствам системы подгрупп-одно из основных и интенсивно развивающихся направлений современной обшей теории групп. Идея изучения групп с теми или иными ограничениями для подгрупп имеет своими истоками работы Дедекинда [[" 56 Д и Миллера-Морено £ 67 Этот подход к изучению групп позволяет выделить многие важные классы групп.Так, например, одним из первых был выделен и детально изучен класс гамильтоновых групп - неабелевых групп,все подгруппы которых инвариантны [52, 56 Д .В работе [ 67 3 изучены конечные неабелевы группы,все собственные подгруппы которых абелевы.Позднее О.Ю.Шмидт [48^ исследован конечные ненильпотентные группы,все истинные подгруппы которых нильпотентнн,ослабив тем самым ограничения для подгрупп работы [ 66Д .Ему же принадлежат работы Д49 - 51^ »составившие существенный вклад в изучение групп с ограничениями для подгрупп, В этой связи С.Н.ЧеР-никовым(см. [ 42 3 )отмечено, что "... в 1983 году
О.Ю.Шмидт сформулировал проблему установления всех бесконечных групп,все истинные подгруппы которых конечны, сыгравшую немаловажную роль в развитии общей теории групп.Все абелевы группы такого рода - это всевозможные квазишшлические группы". Однако лишь недавно было установлено существование бесконечных

неабелевых груш, вое истинные подгруппы которых конечны и даже абелевы (см. [ 19 Д ).
Исследования груш по заданным свойствам системы подгрупп обогатили теорию груш также многими важными понятиями (локальная конечность, локальная разрешимость, локальная нильпотентность и др.), в значительной степени определивших лигто современной теории групп(см.,например, С 31 - 38 Д ).
Кроме указанных выше в качестве заданных свойств системы подгрупп использовались также разрешимость [70] .сверхразреши-мость [57, 64 3 .ПИКЛИЧНОСТЬ С13Ц ,дисперснвность [15, 63 Д , свойство быть централизатором [60Д »различные условия конечности [23, 38 ] и многие другие(см.,например, [41, 42 Д ). Подобное направление наметилось и в теории топологических груш [ 27 Д
Иного рода ограничения связаны с именем Ф.Холла.В работе [ 61 Д он получил наиболее известный и существенный результат о конечных группах: конечная груша тогда и только тогда разрешима, когда в ней дополняемы все ее силовские подгруппы.В работе [ 62] Ф.Холл описал конечные группы,в которых дополняемы все их подгруппы. Оказалось, что эти группы сверхразрешимы и исчерпываются подгрушами прямого произведения конечного числа конечных груш, имеющих порядки, свободные от квадратов простых чисел. Позднее в работе [47 Д были описаны произвольные (как конечные,так и бесконечные) группы, в которых дополняемы все подгруппы. Там они и получили укрепившееся за ними название вполне факторизуемых груш. Как показано в работе [47] .вполне факторизуемая груша гиперпиклична,является полупрямым произведением двух абелевых подгрупп и изоморфна подгруппе некото-

содержит подгруппу ЯВ£. так как центр группы Р1 единичен, то Ср СЯ) ф £ ± и,значит, £$±41. Пусть Я -неединичный элемент из Я. Предположил?,что =1 для
неединичного элемента из &>..Тогда ввещу соотношения Ь £ Я) вытекает,что Я >.<£> - неабелева группа, и,значит,
£ (Я не содержит подгруппы Я . Так как коммутант
подгруппы ЯуВ± содержится в Я , то подгруппа Я х <*> инвариантна в Я X В±.Отсюда следует,что пересечение ЯП £(Мх<ь» инвариантно в Я. si . Так как по предположению С£,с£Л=4, то Я £ 2, СЯ X Из неабелевости группы
ЯуОэУ следует,что ЯП2С (Я X собственная
подгруппа из Я инвариантная в 9 что противоречит выбору^.. Таким образом, = ^ • Ввиду теоремы 1.5 8^
локально циклическая группа и -&СВ±) не содержит р. Обозначим через максимальную вполне факторизуемую подгруппу
из 5Д. Так как В± локально циклична, то В0 разлагается в прямое произведение конечного или бесконечного числа циклических подгрупп <£,> простых и различных порядков и содержит
все элементы простых порядков. Рассмотрим подгруппу £Х^'Ь-><
Так как £ содержит Я, то 2 X неабелева подгруппа.
Так как коммутант подгруппы £ Ч содержится в
2, то 2 X инвариантна в £ X В; и,значит,
£ (£ N <■£>•>} инвариантна в £ X В ^ • Из разложения труп
пы вытекает,что £ ££ Х<-Ь;>) инвариантна в 9. Обозначим
через £ пентр подгруппы £ X 5 через Л - максимальную £
вполне факторизуемую подгруппу из £ 5 через С ^ - максимальную вполне факторизуемую подгруппу из ^. Ясно, что С = С ^ Д ? , С Д £ . По обобщенной теорем Машке (см.