Классификация некоторых коизотропных действий алгебраических групп

• Автор: Лосев, Иван Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

0.1 Коизотропные гамильтоновы действия и слабо коммутативные однородные пространства
0.2 Структура аффинных гамильтоновых действий
0.3 Классификация коизотропных симплектических линейных действий
0.4 Классификация слабо коммутативных однородных пространств
с редуктивным стабилизатором
0.5 Содержание работы
0.6 Благодарности
0.7 Соглашения и обозначения
1 Гамильтоновы действия
1.1 Базовые определения
1.2 Численные инварианты гамильтоновых действий
1.3 Общие замечания о слабо коммутативных однородных пространствах
1.4 Симплектические модули над редуктивными группами
2 Структура гамильтоновых действий редуктивных групп
2.1 Локальные сечения
2.2 Структура центрально-нильпотентных гамильтоновых многообразий
2.3 Случай линейных представлений
3 Классификация коизотропных симплектических модулей
3.1 Случай неприводимых модулей
3.2 Сферические модули
3.3 Завершение классификации
4 Классификация слабо коммутативных троек вида (п, I, I)
4.1 Редукция к представлениям
4.2 Условия коммутативности
4.3 Оценки на размерность

4.4 Вид ^-модуля
4.5 Классификация в случае неприводимого модуля з
4.6 Случай приводимого модуля з
4.7 Случай, когда ступень нильпотентности алгебры п больше 2
5 Классификация слабо коммутативных пространств в общем случае
5.1 Критерий слабой коммутативности пространств с редуктив-ным стабилизатором
5.2 Сферические однородные пространства с редуктивным стабилизатором
5.3 Разложения редуктивных алгебр Ли
5.4 Вспомогательный результат
5.5 Следствия теоремы 5.1
5.6 Случай сйтз
5.7 Случай, когда з - нетривиальный неприводимый модуль
5.8 Классификация ненасыщенных троек
Литература

0.1 Коизотропные гамильтоновы действия и слабо коммутативные однородные пространства
Диссертация посвящена классификации двух классов действий алгебраических групп на симплектических многообразиях, которые мы опишем ниже в этом пункте.
Основным полем является поле С комплексных чисел. Пусть О - связная алгебраическая группа, а X - гладкое неприводимое алгебраическое многообразие. Говоря, что многообразие X симплектическое, мы имеем в виду, что на X задана регулярная симплектическая 2-форма. Напомним, что 2-форма и> на X называется симплектической, если она замкнута, т.е. (ко = 0, и невырождена в каждой точке многообразия X. В этой работе для нас будут важны два класса симплектических многообразий: векторные пространства с постоянной симплектической формой и кокасательные расслоения.
Определение 0.1.1. Пусть С регулярно действует на X симплектомор-физмами, т.е. преобразованиями, сохраняющими симплектическую форму. Действие называется коизотропным, если орбита общего положения является коизотропным подмногообразием в X.
Напомним, что подпространство £/ в симплектическом векторном пространстве V называется коизотропным, если оно содержит свое косоортогональное дополнение, т.е. подпространство
V1 := {у еУи(у,и) = 0,/иеи},
где через со обозначена постоянная симплектическая форма на V. Подмногообразие У в симплектическом многообразии X называется коизотропным, если для любой точки у £ У касательное пространство ТуУ является коизотропным подпространством в симплектическом векторном пространстве ТуХ.
Оба класса интересующих нас действий удовлетворяют одному ограничению: они гамильтоновы.

(0,0) М^/г) (о
Аг х СП((7ГЬ0), (7Г1,7Г1)),П > 1 (7Г1,0){1,0},(7ГЬ7Г1){0,1}, (0,тг1){1,1},(0,7г2){2,2}, 0{2,2} 5р(2п — 4)
Ап х А х Ат( (ТГ1,7Г1,0), (0, 7Г1, 7Г1)), п ^ т ^ 1 (7Г„_!, 7Г1, 0){1, 0}, (0,7Г1,7Гт_1){0, 1}, (тг„_2,0,0){2,0}, (0,0,7гт_2){0,2}, (тГп-1, 0, 7Гт—1)"{11 1} т ^ 2 : в[(п - 1) х з1(т - 1) х 1(2) п > т = 1 : з1(п - 1) х 1(1) п — 1:
Сп х А х Иот( (7Г1, 7Г1, 0), (0, ЯД, 7Г/тг—1)), п > 1 (7Г1, 7Г1, 0){1, 0}, (0,7Г1,7П){0,1}, (тг2,0,0){2,0},(0,0,7г2){0,2}, (тг1,0,7г1){1,1},0{2,0} т > 1 : £р(2п - 4)х Х£[(т — 1) х 1(1) т — 1: яр(2п — 4)
Сп х А х Ст( (тгьтгьО), (0, 7Г1, 7Г1)), п,т > 1 (?Г1, 7Г1, 0){1, 0}, (0,7ГЬ7Г1){0,1}, (тг2) 0,0){2,0}, (0,0,7Г2){0,2}, (ТГ1, 0, 7Г1){1, 1}, 0{2,0}, 0{0,2} 5р(2п — 4) х 5р(2т — 4)
Отметим, что все неразложимые насыщенные сферические представления имеют не более 2 неприводимых компонент.
Классификация ненасыщенных сферических представлений дается следующим предложением (см. [33], теорема 2.6; оно также следует, с учетом теоремы 3.2.1, из предложения 0.3.2).
Предложение 3.2.3. Пусть С С ОЬ({7) - редуктивная линейная группа, [1 = Щ ф ... 0 1/3 - разложение II на неприводимые С-подмодули, б? -подгруппа в СЬ((7), порожденная С и тором (Сх)в с естественным представлением (С*)5 : И, централизующим С?. Пусть, далее, Т С Т - максимальные торы групп С и <Й, в - решетка характеров тора Т, обращающихся в единицу на Т, А(11) - решетка, порожденная старшими весами представления б? : С[11]. Предположим, что С? : II - сферическое представление. Тогда представление б? : и является сферическим тогда и только тогда, когда <5 П Л(£7) = {0}.
Из этого предложения следует, в частности, что неприводимые полу-простые линейные группы, представления которых сферические, - это ЯЦгс), Д2 8Ь(2т+1),Эр(2п), Зрт+(10), ЗЬ(п)<8>ЗЬ(т), п > т, ЭЦп) ®3р(4), п > 4.
3.3 Завершение классификации
Сначала мы докажем предложения 0.3.2, 0.3.3.