Градуированные кольца частных

• Автор: Канунников, Андрей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения и результаты

1.1 Основные понятия теории градуированных колец и модулей

1.2 Градуированные матричные кольца

1.3 Градуированные аналоги классических понятий

1.4 Ортогональная полнота в теории колец

2 Кольца частных градуированных колец

2.1 Существенные и рациональные расширения

2.2 Полное градуированное кольцо частных

2.3 Классическое градуированное кольцо частных

2.4 Порядки в градуированных матричных кольцах
3 Градуированные кольца Голди
3.1 Основные свойства
3.2 Строение полного градуированного кольца частных
3.3 Существование и строение классического градуированного кольца частных
3.4 Случай главных правых градуированных идеалов
4 Ортогональное градуированное пополнение
4.1 Основное булево кольцо
4.2 Критерий ортогональной полноты кольца С29Г(11)
4.3 Построение ортогонального градуированного пополнения .

4.4 Случай градуированных колец Голди
4.5 Локализации
4.6 Кольца с однородным дифференцированием
Литература

Введение
Диссертация посвящена градуированным кольцам частных градуированных по группе колец. В диссертации доказаны градуированные аналоги теоремы Фейса—Уту ми о порядках в матричных кольцах, теорем Голди о порядках во вполне приводимых кольцах, а также построено и исследовано ортогональное градуированное пополнение — аналог кольца частных, лежащего в основе теории ортогональной полноты Бейдара— Михалёва.
В последнее время отмечается значительный интерес к кольцам и другим алгебраическим структурам, снабжённым градуировкой. Это объясняется тем, что многие важные классы колец допускают естественную градуировку, например, кольца многочленов, матричные кольца, групповые кольца. В 1979 и 2000 годах Настасеску и ван Ойстаейен выпустили монографии [28, 32], посвящённые кольцам и модулям, градуированным по группе, причём в [28], как и во всех работах раннего периода, рассматривалась только градуировка по группе Ъ целых чисел.
Естественный и важный вопрос в теории градуированных колец — какие свойства градуированного кольца или модуля, рассматриваемого без градуировки, равносильны соответствующему градуированному аналогу этого свойства, и при каких условиях. Стандартный градуированный аналог понятия классической теории колец получается, если в определении этого понятия вместо всех элементов рассматривать только однородные, вместо всех идеалов (подмодулей) — только градуированные и т. п. Такие градуированные аналоги принято обозначать приставкой gr-. Например, gr-apтинoв ^г-нётеров) модуль — это гра-

2. Если Уг — прямая сумма ненулевых подмодулей в (Хд)це, то УВ — прямая сумма ненулевых градуированных подмодулей в X. Действительно, пусть Х^=1 УИг = У* б Уг с Хд,Г1 £ /г(й),УгГг ф 0. Можно считать, что все элементы гг одной степени. Найдём такое г' £ /г(В), что 0 ф У1Гг' £ Хд. Тогда ^^л=Угггг' = 0) причём гг' £ Ве и УгГУ £ У при всех г, поэтому 7/гг’гг'/ = 0 При ВСвХ I ~ Противоречив. □
Инъективность
Определение. 1. Градуированный модуль Хц называется дг-иньективным, если для любых градуированных модулей Ац и Вд, любого градуированного мономорфизма : А —» В и любого градуированного гомоморфизма /: А X существует такой градуированный гомоморфизм /г : В —» X, что Н о = /.
2. Градуированное кольцо В называется дг-самоинъективным справа (слева), если модуль Вд (дВ) gr-инъeктивeн.
Теорема 1.3.22 (критерий Бэра для градуированных модулей, [32], следствие 2.4.8). Градуированный модуль Хп дг-инъективен тогда и только тогда, когда для любого градуированного правого идеала К кольца В, любого д £ (7 и любого до £ (НОМд(В', Х))д найдётся такой элемент х £ Хд, что <р(к) = хк для всех к £ К.
Предложение 1.3.23 ([32], следствия 2.3.2, 2.5.2, пример 2.3.3).
1. Всякий инъективный градуированный модуль дг-инъективен.
2. Если группа С конечна, то всякий дг-инъективный С-граду-ированный модуль инъективен.
3. Пусть к — поле, В = к[х,х~г] — Ъ-градуированное кольцо с градуировкой В^ = кхп, п £ Ж. Тогда Вд — дг-инъективный, но не инъективный модуль.
Градуированные аналоги существенных и рациональных расширений рассмотрим в следующей главе.