Среднее значение функции Чебышева с экспоненциальным весом в коротких интервалах

• Автор: Бобоёров, Шавкат Кенджаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 55 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Оценка средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле
1.1 Вспомогательные леммы
1.2 Теоремы об оценке средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле по всем примитивным характерам данного модуля
2 Среднее значение функций Чебышева с квадратичным
экспоненциальным весом в коротких интервалах
2.1 Вспомогательные леммы
2.2 Теорема о среднем значении функции Чебышева с весом е(Ап2) в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля
2.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами в коротких интервалах

Обозначения
т, n,k,d - целые числа
Л(п) - функция Мангольдта
д(п) - функция Мёбиуса
х(п) - характер Дирихле по модулю q
Xd{n) ~ примитивный характер Дирихле по модулю d
е(а)
т(п) -число натуральных делителей п
тг(п) -число решений уравнения х...хт = п в натуральных числах ®1, . , Хг
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения е -положительные сколь угодно малые постоянные;
In х = log х -натуральный логарифм х I — In xq, L — In xQ
Запись Л 0 такое, что |Л| < сВ

Введение
При решении ряда задач теории простых чисел возникает вопрос о поведении средних значений функций Чебышева в коротких интервалах по всем характерам Дирихле. В круг таких задач входят: оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами, тернарная проблема Гольдбаха с почти равными слагаемыми, тернарная проблема Эстермана с почти равными слагаемыми, задача о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых чисел и квадрата простого числа, когда слагаемые почты равны, проблема Хуа Ло-Кен о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы пять квадратов простых чисел, когда эти простые почты равны.
В данной диссертации изучаются средние значения функций Чебышева с квадратичным экспоненциальным весом в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля, то есть сумм вида
*2(®; Ч,У, А) = 2 ІіМ*. х, А) - ф2{х - у, X, А|,

Ф2(х, Х,А) = Х: Л(п)х(п)е(Ап2),

Подставляя (2.2.4) в (2.2.3), а затем полученное в (2.2.2), найдем:
4 2 к 0.5-Н'То
Ф(и,х) = 2(-1)1 I Ук(з,х)з + Я2(и,х), (2.2.5)
к=1 О.Ь-гТо
Щи, х) < ж1+£/Т0.
3. Применяя преобразование Абеля в интегральной форме, имеем:
Щх, X, А) - Щх - у, х, А)

= - J Щи, х) - - У, х)]е(Аи2) + е{х2)Щх, х) ~ ф{х - у, *)]

= - ! ф{и, х)е{и2)(1и + е(Хх2)ф(х, х) - е(А(® - у)2)Ф{х -у,х)-

Подставляя в найденную формулу выражение для ф2{х, х, А) из (2.2.5), найдем:
Щх, X, А) - Щх - у, х, А)
4 рк 0.5+гТо
= - [ [ ук(8,х)~ +Я2(и,х) ) е{и2)йи+
х-у *=1 то/т 8 )
(4 р к 0.5+Щ N
Ё(-1)ЧЕ7 / П(8,хЩ
к=1 0.5-гГо )
f4 р к 0.5+гТо
А=1 0.5-гГо