Среднее значение функции делителей с быстро растущей размерностью

• Автор: Федоров, Глеб Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
Глава 1. Оценка суммы значений функции делителей
1.1 Введение
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Доказательство теоремы
Глава 2. О проблеме делителей с растущей размерностью
2.1 Введение
2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Доказательство основной теоремы
Глава 3. О количестве делителей чисел сочетаний
3.1 Введение
3.2 Вспомогательные утверждения
3.3 О количестве делителей «соседних» чисел сочетаний
3.4 О числе делителей центрального биномиального коэффициента
Глава 4. Об одном обобщении функции делителей
4.1 Введение
4.2 Вспомогательные утверждения
4.3 Среднее значение проекции функции делителей
Список литературы

Обозначения
Через М, 2, М и С будем обозначать множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел, соответственно. Буквами р и д будем обозначать простые числа. Символ суммирования с переменной суммирования р (например, рЛх) будет обозначать суммирование по простым числам (соответственно, не превосходящим ж). Буквами п, т, к будем обозначать целые числа. Через є обычно будем обозначать произвольное положительное вещественное число.
Символы о, О и символы Виноградова <С, У>> используются в своем обычном смысле, а именно, записи Р = 0(Є), ґ « б, С » У равносильны и означают, что |(7| (7Р для некоторой постоянной С. Запись х й означает, что одновременно С б и С < . Запись Р ~ (7 означает, что Р — (7 + о(С). Записи Р -< (7 или бР означают, что величина (7 асимптотически больше величины Р, то есть Р = о (С). В различных неравенствах типа (7 СР постоянные С не обязательно совпадают. Запись С ~ означает приближенное равенство двух заданных чисел С и С.
Если ж Є К, то через [ж] будем обозначать целую часть числа х, через {ж} — дробную часть числа ж, {ж} = ж — [ж].
Запись рк || п означает, что ркп и рк+1 п, то есть рк — наибольшая степень р, делящая п.
Для биномиальных коэффициентов (чисел сочетаний) будем использовать

следующую запись
Биномиальный коэффициент будем называть центральным биномиальным коэффициентом.
Максимальную степень простого числа р, которая делит заданное целое число п обозначим ир(п). Очевидно, что || п.
Будем использовать стандартные обозначения для теоретико-числовых функций:
<р(п) — функция Эйлера — количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно-простых с п;
д(п) — функция Мебиуса — мультипликативная функция, определенная равенствами р(р) — —1, р(р°) — 0 при целом а > 1;
7г(п) — число простых чисел, не превосходящих п;
Ых = /2х(1п — интегральный логарифм.

к 2 fc2 з к3 3 fc / к 2 к2
1 “ 7°ЬЇ + 7»ЙП " 7"йй ' 2hi 2ЪШ: + 37»Л +
к 5 к Л „ fc _ fc3 . 15 к2 . (,2$2
+Ф. 2 ( 1 — З70:— ) —гу [ 1 — З70:— ) —сз—з—1-——з ЬО ( к In ж V In х) 81п ж V In ж/ In ж 16 In х V °
Остается отметить, что k2S6b6 ~ fc6/3 4 >- fc 1 при | < /3 < |. Воспользуемся формулой Стирлинга, тогда из формулы (2.39) получаем
h(x) = ZTJJT ехр W Lx’ k)(l + 0 + ° (fc6/?_4)
где функция L3(x, fc) отличается от функции Ьз(х, fc) лишь остаточными членами:
к fc2 fc3
L3(x, fc) = 1 - Л1Г- + Аг—у
In X In x In ж
Приведем приближенные значения для коэффициентов многочлена Хз(ж, fc):
Ai = 70+- 2.0772,
Аг = + 7і + З70 + ~ 3.9085,
Аз = у7о + 7о + 37o7i + 71 + 7о + У ~ 4-2483‘
Многочлен дз(х, fc) удобно записать в следующем виде:
fc fc2 fc3
9з(ж, fc) = fc fcr— - fcyy- + fc
Чпж ln2x In3 x где коэффициенты
fc = 70 -0.5772, fc = 7o + 7i ~ 0.2604, fc = 7o3 + 37o7! + | «0.1945.
Лемма доказана. □