Биалгебры, заданные на простых альтернативных и мальцевских алгебрах

• Автор: Гончаров, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Оглавление
1 Введение.

2 Обозначения и основные определения.

2.1 Обозначения

2.2 Основные определения и предварительные результаты

3 Альтернативные Д-биалгебры.

3.1 Предварительные результаты

3.2 Уравнение Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах

3.3 Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре

Кэли-Диксон а

3.4 Альтернативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру

альтернативной Д-биалгебры
3.5 Связь простых альтернативных Д-биалгебр с биалгебрами Ли
4 Биалгебры Мальцева.
4.1 Вспомогательные результаты
4.2 Пограничные биалгебры Мальцева
4.3 Структура биалгебры Мальцева на простой нелиевой алгебре
Мальцева - предварительные результаты
4.4 Случай ненулевого радикала
4.5 Полупростой случай
Литература

Глава
Введение.
Уравнения Янга-Бакстера являются объединяющим началом при изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода обратной задачи [30], при нахождении решений некоторых моделей статистической механики [4] и при изучении факоризованного рассеяния солитонов и струп [16,17].
В работе Белавина A.A. и Дринфельда В.Г. [18] исследовались функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. В работе Столица [14], используя идеи работы Белавина A.A. и Дринфельда В.Г. [18], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.
Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера находятся в соответствии с так называемыми симплектическими алгебрами Ли - — то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. В работе [3] изучались алгебры Ли, допускающие одновременно структуру квадратичной(то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической ассоциативной билинейной формой) и симплектической алгебры Ли.
Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в алгебрах Хопфа

Глава 1. Введение.

коумножение - это гомоморфизм соответствующих алгебр-
Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом [20] для изучения решений классического уравнения Янга — Бакстера. Биалгебры Ли — это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом.
В работах Желябина |22, 23) дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга — Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение — это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены в [8] и изучались в [1]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга — Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [10].
С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [9] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга — Бакстера.
Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга — Бакстера, был определен в [24], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полунроста как алгебра, принадлежит этому классу.
В диссертации рассматриваются альтернативные, йордановы и мальцевские Д-биалгебры. Для альтернативных Д-биалгебр получены необходимые и достаточные условия в терминах коумножения для альтернативности Д-
Глава 3. Альтернативные Д-биалгебры.

принадлежит коммутативному центру, то Л^- = 0 при г ф у. Отсюда следует, что N = Лг0 ® М ф ... 0 Л4, где Л/о = {х Е N|же4 = Одля любого е*} и А/) = {х Е Л^же, = ж}.
Как показано в [13] (стр.33), в любой альтернативной алгебре, для любых ортогональных идемпотентов е, и еу и произвольного элемента х, ассоциатор (ег,е^-,а;) = 0. Несложно видеть, что для любых х Е Л/*, у Е N1 и
е, — произвольного идемпотента, ассоциатор (а;, у, е;) = 0. Следовательно, В принадлежит ассоциативному центру алгебры А.
Так как алгебра А не является ассоциативной, то Лг3 ф 0. Следовательно, существует г Е (0,..., к} такой, что М? ф 0. Пусть IV* =* 0, к > 4. Рассмотрим произвольный а Е Допустим, что а3 ф 0.
Пусть а1 = 0 и а*"1 ф 0, 4 < I < к. Пусть Апп^ = {х е Л/; : АД1 = ж Л/; = 0}. Так как Л/) — нильпотентный, то АппИг ф 0. Пусть 5 £ ЛгтАф Рассмотрим элемент г = а1~2 ®> Ъ — Ь ® а1-2. Так как £ > 4, то элементы о(_2 и 5 образуют подалгебру с нулевым умножением. Поэтому СДг) = 0. Следовательно, для любого с е Д/( имеем Дг (с) = а(_2с ® Ь + Ь ® са(_2 = 0. Отсюда а!~2с = аЬ и са1~2 = —«5, где а£Т В частности, полагая с = а, имеем а1-1 = —а1-1, и так как характеристика поля В не равна двум, то а1~1 — 0. Противоречие. Поэтому для любого а £ Л/, а3 = 0.
Пусть а £ АД Ь £ ЛппАД Рассмотрим элемент г = а2 ®Ь — Ь® а2. Легко видеть, что Са(г) = 0. Поэтому для любого с £ АД Дг(с) = 0. Отсюда следует, что
а2с = аЬ; са2 — —аЬ, (3.15)
где а £ Р. Из произвольности элементов а и с получаем, что х2у, ух2 Е АппМг для любых х,у Е А/).
Зафиксируем элемент с Е АД Рассмотрим Г = аса ® 6 — Ь ® аса. Так как (аса)2 = аса2са = 0, то Сд^) = 0. Следовательно, Дп(с) = 0 для любого с Е А. Отсюда асас = <рЬ, саса = — <рЬ, где <р Е К.
Рассмотрим элемент г' = ас® Ъ — Ь ® ас. Для него г'23г(2 = — Ь ® (ас)2 ® 6 = —®Ь®Ь. Поэтому
С л (г1) = ~3<Д) ®Ь®Ь.