Специальные элементы решеток многообразий полугрупп

• Автор: Шапрынский, Вячеслав Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Обсуждение проблематики и обзор результатов, предшествующих диссертации (3) 2. Постановки задан (5) 3. Обсуждение результатов диссертации (10) 4. Апробация и публикации (11) 5. Структура диссертации (11)

§1. Предварительные сведения

1.1. Абстрактные решетки (13) 1.2. Решетки разбиений (15)

1.3. Тождества полугрупп (16) 1.4. Многообразия полугрупп (17) 1.5. Коммутативные многообразия (21) 1.6. Надкомму-тативные многообразия (23)

§2. Модулярные и нижнемодулярные элементы в некоторых

решетках многообразий полугрупп

§ 3. Решетка всех многообразий полугрупп

3.1. Периодичность специальных элементов всех типов (31)
3.2. Модулярные элементы (33) 3.3. Нижнемодулярные элементы (34) 3.4. Дистрибутивные и стандартные элементы

4. Решетка коммутативных многообразий
4.1. Модулярные элементы (44) 4.2. Нижнемодулярные элементы (47) 4.3. Дистрибутивные и стандартные элементы (48) 4.4. Нейтральные элементы (52)

§ 5. Решетка надкоммутативных многообразий
5.1. Тождества и квазитождества (55) 5.2. Специальные элементы (61)

’ Список литературы

Публикации автора по теме диссертации (71)
Введение
1. Обсуждение проблематики и обзор результатов,
предшествующих диссертации
Решетки многообразий составляют один из основных классов структур, изучаемых в универсальной алгебре. Значение этих решеток можно объяснить тем обстоятельством, что та или иная алгебраическая теория (например, теория групп, теория колец или теория решеток), как правило, изучает некоторое конкретное многообразие, а многие области этой теории (теория абелевых групп, ассоциативных или лиевых колец, дистрибутивных или модулярных решеток) изучают его подмногообразия. При этом более общие области связаны с большими многообразиями, а более частные — с меньшими. Таким образом, логическая структура теории, изучающей целый класс алгебр, оказывается схематически отражена в строении одной конкретной алгебры — решетки подмногообразий соответствующего многообразия.
Применительно к полугруппам решеточная теория многообразий начала систематически развиваться в середине 1960-х годов. К настоящему времени изучению решетки многообразий полугрупп посвящено около 250 работ. Результаты, полученные на начальном этапе развития этой теории, приведены в обзорах [23] и [1]. Обзор более поздних исследований по многообразиям полугрупп дается в цикле статей [10[, [20], |18[, третья из которых посвящена теоретико-решеточному направлению л отражает его современное состояние.
Поскольку диссертация посвящена многообразиям полугрупп, во всем тексте слова “тождество” и “многообразие” будут означать “полугрупповое тождество” и “нолугруппопое многообразие”, если только и явном виде не оговорено противное. Прилагательное, обозначающее свойство полугрупп, относят н к многообразию, все полугруппы которого обладают данным свойством (например, “коммутативное многообразие”, “периодическое многообразие”). Решетку всех многообразий полугрупп будем обозначать через SEM.
Заметное место в изучении решетки SEM занимает рассмотрение решеточных тождеств, в частности модулярности и дистрибутивности, в различных ее частях. В первую очередь речь идет о решетках подмногообразий многообразий полугрупп. Еще на самом раннем этапе исследования решетки многообразий полугрупп, в 1969 год}', в работах Ежека [27] и Швабауэ-ра [36] были приведены первые явные примеры многообразий с немодуляр-ноп решеткой подмногообразий. При этом пример Швабауэра состоит из коммутативных полугрупп, что доказывает немодулярность уже решетки коммутативных многообразий. В 1971 г. в обзоре Эванса [23] была в явном виде поставлена задача описания многообразий полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. Для ее решения потребовалось около 20 лет и усилия целого ряда авторов. Окончательно она была решена М. В. Волковым в начале 1990-х годов. О сложности и объеме доказательства этого результата говорит хотя бы тот факт, что для его полного обнародования потребовалось опубликовать семь статей [3,7—11,53|. Параллельно в работах [8-10], а

также в [49,50] получена существенная информация о многообразиях полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий, близкая к их описанию по модулю групп, а в [3,7,11] найден ряд обобщений, в частности, доказана эквивалентность модулярности и дезарговости в решетках подмногообразий многообразий полугрупп. К обсуждаемому направлению принадлежит и целый ряд других работ, систематический обзор которых можно найти в §11 статьи [18].
После исследования тождеств модулярности и дистрибутивности в решетках подмногообразий следующим шагом стало изучение специальных элементов решетки SEM, связанных с этими тождествами.
В теории решеток изучается целый ряд типов специальных элементов, но основное внимание при этом уделяется элементам следующих восьми типов. Элемент х решетки L называется
дистрибутивным, если Уу, z & L х V (у Л z) = (х V у) Л (х V z),
кпдистрибутианым, если Уу, zeL х Л (у V z) = (х Л у) V (л Л г).
стандартным, если Vу, z 6 L у Л {х V г) = (у Л х) V (у Л z),
ко стандартным, если Уу, z 6 L у V (х Л г) = (у V х) Л (у V г),
нейтральным, если Vj/, zei (i V j) Л (j V z) Л (г V i) =
(l Л i/) V (j Л z) V (г Л ж),
модулярным, если Vj/, г £ L у < z (у V х) Л z = у V (х Л z),
пиокнемодулярным, если Vy, z & L х < у —> (г V г) Л = .т V (г Л у),
верхнемодулярным, если Vy, г 6 I у < х (у V z) А х = у V (z А х).
Нейтральный элемент можно также определить как элемент, который вместе с любыми двумя элементами порождает дистрибутивную подрешетку (см. (13], теорема III.2.4). Первые пять из этих типов будем называть дистрибутивными. типами, остальные три —модулярными1.
Относительно включения соответствующих классов элементов перечисленные типы образуют частично упорядоченное множество, изображенное на следующем рисунке.
нижнемодулярные верхнемодулярные
[ модулярные ] дистрибутивныеЧ УЧ Укодистрибутивные
стандартные^. /нестандартные нейтральные
Тот факт, что всякий [ко]стандартный элемент [ко]дистрибутивен, хорошо известен и легко проверяется (см., например, [13], теорема ІІІ.2.3), а
Применительно к элементам модулярных типов пока еще нет устоявшейся терминологии. Так, в [37] модулярные и верхнемодулярные элементы называются, соответственно, левомодулярными и правомодуляриыми. Мы будем пользоваться терминологией, сложившейся в работах но решеткам многообразий полугрупп.

3.4. Дистрибутивные и стандартные элементы
В данном пункте будут решены задачи 3 и 4. Соответствующим результатом является следующая теорема.
Теорема 3. Для любого многообразия V следующие условия эквивалентны:
(а) многообразие V дистрибутивно;
(б) многообразие V стандартно;
(в) либо V = SEM, либо V = Jf, либо V = SC V N, где N — О-привсденное многообразие, удовлетворяющее тождествам
х2у = хух = ух2 = 0. (4)
Отметим, что 0-приведенные подмногообразия многообразия var{Æ2y = хух = ух2 = 0} исчерпываются многообразиями из следующего списка:
var{x2j/ = хух = ух2 = 0};
var{x2 = хух = 0};
va.r{x2y = хух — ух2 = х ... хп — 0};
var{æ2 = хух — х... хп = 0}.
Поскольку любой дистрибутивный элемент нижнемодулярен, из следствия 3.1 и леммы 1.4 непосредственно вытекает, что для многообразий полугрупп дистрибутивность эквивалентна стандартности. Тем самым, равносильность пунктов (а) и (б) уже доказана. Остается доказать равносильность пунктов (а) и (в). Так как любое дистрибутивное многообразие нижнемодулярно, теорема 2 и следствие 1.1 сводят доказательство теоремы 3 к доказательству следующего предложения.
Предложение 3.3. Многообразие, являющееся 0-приведепным, дистрибутивно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет тождествам (4).
Для доказательства необходимости в предложении 3.3 нам нужны еще две леммы.
Лемма 3.3. Пусть u,v — несравнимые слова от одних и тех же букв. Пусть X = var{u = î;}, и пусть а - произвольная перестановка множества с(и). Если многообразие X удовлетворяет нетривиальному тождеству вида ct(îx) = w, то w = a(v).
Доказательство. Предположим, что из тождества и = v непосредственно вытекает нетривиальное тождество вида а(и) = w. Тогда либо сг(и) = а((и)Ь и w = aÇ(v)b, либо а(и) = aÇ(v)b и w = aÇ(u)b для некоторых a,b € F1 и некоторой подстановки С- Во втором случае
и = (aÇ(v)b) = a~1{a)a~1{Ç(v))ff~l(b)
= сг~1(а)(сг 1С)(г>)сг~1(Ь),