F-локальные подгруппы в группах с обобщённо конечными элементами

• Автор: Янченко, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 65 с.

? СОДЕРЖАНИЕ:

ГЛАВА

Предварительные сведения

1.1. Сведения общего характера

1.2. Группы с инволюциями

1.3. Техника вееров

ГЛАВА

Случай для пары (а, Ь), когдаа-инволюция

2.1. Случай пары инволюций

2.2. Доказательство теоремы

2.3. Случай доя пары (я, Ь),когдаа-инволюция, ^-элемент

простого порэдка р>2
ГЛАВА
Группы с обобщенно конечными элементами
3.2. Метод обособленных ядер Фробениуса
3.2. Строение подгрупп Ьд= (а,Ь9) в контрпримере к теореме 5
3.3. Доказательство теоремы
ГЛАВА
Группы с обобщенно конечным элементом порядка 4 и пары {а,Ь) при а ■ Ь
4.1. Доказательство теоремы
4.2. Доказательство теоремы 8 и
4.3. Группы ограниченного периода
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

Если множество элементов конечного порядка в бесконечной группе О конечно, то ввиду известного результата Дицмана' [10] они составляют конечную вполне характеристическую подгруппу группы й. Если же множество таких элементов в в бесконечно, то естественно возникают различные вопросы об их расположении в группе [40].
Многие исследования в теории бесконечных групп посвящены доказательствам существования в группе «хороших» бесконечных подгрупп. Так, по известной теореме Каргаполова-Холла-Кулатилаки [11,44] любая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелевую подгруппу. Существует определённая параллель между подгруппами Силова в конечных группах и хорошими подгруппами в бесконечных группах, позволяющими применять при изучении бесконечных групп методы локального анализа. Учитывая важность таких подгрупп, на первом Всесоюзном симпозиуме по теории групп М.И. Каргаполовым был поставлен вопрос о существовании бесконечной абелевой подгруппы в произвольной бесконечной группе (вопрос 1.24 из [13]).
Вопрос 1.24. (М.И. Каргаполов). Всякая ли бесконечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой?
В 1967г. В.П. Шунков [33] доказал существование бесконечных подгрупп с нетривиальным центром в периодических группах с инволюциями. В том же году С.П. Струнков положительно решил вопрос М.И. Каргаполова в классе бинарно конечных групп [28, 29]. П.С. Новиков и С.И. Адян [1] показали, что вопрос М.И. Каргаполова в общем случае решается отрицательно. В настоящее время известно много примеров бесконечных групп с конечными абелевыми

конкретного класса групп. В 1974 г. В.П. Шунков доказал существование бесконечных абелевых подгрупп в бипримитивно конечных группах [36] и сопряженно бипримитивно конечных группах [38]. В диссертации дается положительное решение вопроса М.И. Каргаполова в классе групп более широком, чем вышеупомянутые классы групп.
С вопросом М.И. Каргополова тесно связан вопрос С.П. Стрункова 2.75 из [13]:
Вопрос 2.75 (С.П. Струнков). Пусть периодическая группа в содержит бесконечное множество конечных подгрупп, общее пересечение которых содержит неединичные элементы. Содержится ли тогда в в неединичный элемент, централизатор которого бесконечен
Как показал К.И. Лоссов [15], в общем случае ответ на вопрос С.П. Стрункова отрицателен. С другой стороны, несомненный, а для групп со слабыми условиями конечности - значительный интерес, представляют необходимые и достаточные условия положительного (отрицательного) решения вопроса С.П. Стрункова для каждой конкретной группы. Так в [39, 40, 41] даны некоторые достаточные признаки существования в группе бесконечной подгруппы с нетривиальным центром. В диссертации вопрос С.П. Стрункова решается положительно при более слабых условиях конечности, чем в этих работах.
Вопросы М.И. Каргаполова и С.П. Стрункова решались В.П. Шунковым для различных классов групп [38, 40]. После решения в 1970г. В.П. Шунковым ряда известных проблем минимальности в классе локально конечных групп, активизировались исследования групп, удовлетворяющих условиям конечности более слабым, чем локальная конечность. В настоящее время известно бесконечно много классов групп с различными условиями конечности [6, 17, 20]. Вместе с тем интенсивно развивается теория гиперболических групп, в которых вопросы существования подгрупп с фиксированным нетривиальным центром имеют немаловажное значение. В данной диссертации эти вопросы
Глава
Группы с обобщённо конечным элементом порядка 4 и пары (а, Ь) при | а |-1 Ь |
В главе 4 рассмотрен случай почти конечного элемента порядка 4 и пары (а,Ъ) |а|-|й|=8 (теоремы 7,8) . Доказано существование бесконечных локально конечных подгрупп в некоторых обобщенно конечных группах (теорема 9), а также в бесконечных группах ограниченного периода (теорема 10, следствие 2).
4,1. Доказательство теоремы
Теорема 7, Пусть (3 - бесконечная группа, а - элемент порядка 4 из О и почти для всех элементов а9 е а° подгруппы (а, а9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа (3 обладает конечной периодической частью, либо элемент а принадлежит/-локальной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка.
Пусть пара (О, а) — контрпример к теореме 7.
Лемма 20. Класс а° бесконечен.
Доказательство. Если класс аа конечен, то по лемме Дицмана подгруппа {а') конечна и нормальна в & В этом случае группа (3 сама является /-локальной подгруппой, и если она содержит бесконечно много элементов конечного порядка, то выполняется вторая часть утверждения теоремы. Если же в С элементов конечного порядка конечное число, то ввиду леммы Дицмана они составляют конечную вполне характеристическую подгруппу Т и имеет место первая часть утверждения теоремы. Лемма доказана.
Лемма 21. Пусть у - инволюция из (а). Тогда: