Спектр Галуа и генерирующие многочлены

• Автор: Сергеев, Александр Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с.

Глава 1. Спектр Галуа многочленов

§ 1. Факторизационный спектр многочлена

§ 2. Спектры Галуа многочленов

§3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена

Глава 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов

§ 1. Теорема Гильберта о неприводимости

§ 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей

степени

§ 3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой

степени

Глава 3. Генерирующие многочлены над

полями характеристики два
§ 1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два
§ 2. Циклические расширения 4-ой степени над полями
характеристики два
§ 3. Циклические расширения 8-ой степени над полями
характеристики два
§ 4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4
над полями характеристики нуль
§5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4
над полями характеристики два
Список литературы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

5„ - симметрическая группа степени п, порядка п.
Ап - знакопеременная группа степени п, порядка п/2.
Сп - циклическая группа порядка п.
-Оп - диэдральная группа порядка 2п.
(р - простое число, I - делитель числа р — 1) - фробениусова группа порядка р/, т.е. полупрямое произведение циклической группы порядка р и подгруппы порядка I ее группы автоморфизмов.
V4 - группа Клейна, то есть нециклическая группа порядка 4.
<2-02"-1 - квазидиэдральная группа порядка 2.
^2" _ кватернионная группа порядка 2п.
М2а+1 - модулярная группа порядка 2тг+1, причём
М2П+1 = (а, £> | а2" = Ь2 = 1, Ьа = а2" 1+1Ь).
- конечное поле из д = рп элементов, где р - некоторое простое число.
РБЬ2^ч) - проективная, специальная линейная группа 2x2 матриц над конечным полем ¥д из д элементов.
РБЬ(2гр) - = Р5Х2 (Жр), где р - простое число.
ОЬп(К) - общая линейная группа п х п матриц с элементами из К.
ОЬ(п,д) = ОЬп(¥д).
ЗрзЛя) ~ группа автоморфизмов симплектического пространства размерности 2п над конечным полем из д элементов.
С3р2„{д) ~ фактор-группа группы пд по её центру.
<5 - поле рациональных чисел.
1, ^25 • • • > ^п) _ поле рациональных функций ОТ переменных <2, ■ ■ • Лп над полем К.
Ъ - кольцо целых чисел.
К[в1,52,, вг] - кольцо многочленов от переменных 51,52) • • • > £г над кольцом к.
В работе изучаются спектры и полные спектры Галуа параметрических многочленов и рассматривается построение генерирующих многочленов над различными полями.
Понятие факторизационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена были введены впервые автором.
Понятие спектра Галуа параметрического многочлена связано с теоремой Гильберта о неприводимости, изучением Гильбертовых множеств, со свойствами параметрических многочленов. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена связано с нахождением целых точек на эллиптических кривых. Факторизационный спектр используется также при нахождении полного спектра Галуа параметрического многочлена.
В теории Галуа есть ряд известных задач, связанных с теоремой Гильберта о неприводимости, которые формулируются следующим образом:
1) Пусть f(x, у) неприводимый над Q многочлен с целыми коэффициентами. Нужно охарактеризовать множество целых специализаций х = а,
для которых многочлен /(а, у) приводим над полем рациональных чисел (часто это множество оказывается конечным). Эту задачу изучали М.Fried [24] и P.Muller [50].
2) Пусть д(х) - многочлен с коэффициентами из поля К. Надо охарактеризовать группу Галуа G многочлена вида д(х) — t над полем K(t).
Эту группу G называют группой монодромии многочлена д{х). По задаче 2 имеются результаты P.Muller [51]. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена тесно связано с задачей 1, а понятие спектра Галуа параметрического многочлена с задачей 2. Так как, если К - Гильбертово поле и группа G есть группа монодромии многочлена д(х) (т.е. группа Галуа многочлена д{х) —t над полем K(t)), то по теореме Гильберта о неприводимости существует бесконечно много специализаций і = а, таких, что группа Галуа многочлена д{х) — а над полем К есть G. Таким образом, задача об
г(/) = 0, мы находим: 4 = а ^^ (а - целый корень резольвенты). Т.к.
нас интересуют только целые специализации 4, то значениями а могут быть: а — 0, ±2, ±3, ±4. При этих значениях а мы получаем пять различных значений 4: 4х = 2 (а = 0,4), Ц = 6 (а = 2), 4з = —6 (а = —2, —4), ti = —13 (а = 3), ^ = —19 (а = —3). При П = 2, мы имеем: г(/) = л3 — 2л2 — 8х — х(х2 — 2х — 8) = л(л — 4)(ж+ 2). Поэтому, из теоремы 3.1 ясно, что группа Галуа Са1ц2/(Х;4 = 2) = ТД При *2,з = ±6, мы получим, что соответствующий многочлен <7(2;, *2,3 = 4:6) - не расщепляется над полем разложения резольвенты Е. Следовательно, группа Галуа Са1ц2/(Х;4 = ±6) = В 4. При значениях 4 = —13, —19, соответствующий многочлен /(X; 4) является приводимым над О. Дискриминант этого многочлена имеет вид: £>(/) = 24(2 - *4 — 22 - *3 -25-424-25-32-4-24-19). Диофантово уравнение £>(/) = а2 имеет частные решения: Д = 2(о = 24 • 3), 42 = Ю(а = 24 • 31). При 4 = 2 мы выше получили, что группа Галуа Са1д/(Х; 4 = 2) = И*- При 4 = 10 резольвента этого многочлена неприводима, следовательно, группа Галуа Са1,д/(Х; 4 = 10) = А (по теореме 3.1). При любых других специализациях 4 (кроме 4 = 2,10, ±6), оставляющих соответствующий многочлен /(Х;4) неприводимым мы получаем, что группа Галуа Са1д/(Х;4 ф 2,10,4:6) = Б4. Т.е., получаем: 8рСа^/(Х;4)
{£4, Л4, £>4, Т^}, причём группа Галуа Оа^(*)/(Х;4) = £4 [48].
2) Рассмотрим многочлен /(Х;4) = X4 + (194 + 5)Х + 684 + 5. Дискриминант этого многочлена имеет вид: £>(/) = —3518664 • 44 + 76790732 • 43 + 16294110 • 42 + 1049100 • 4 + 15125. Он принимает положительные значения только при 4 6 [0;22]. На этом отрезке только при 4 = 1 дискриминант становится квадратом, а именно: при 4=1, £>(/) = (24 • 5 ■ 7 • 17)2
есть Са1д/(Х; 4 = 1) С А.4. Однако, резольвента этого многочлена при 4 = 1 имеет вид: г(/) = л3 — 292л — 576 = (л + 16) (л — 18) (л + 2). Таким образом, группа Галуа Оа1^/(Х; 4 = 1) = по теореме 3.1. Поэтому группа А не реализуется в качестве группы Галуа этого многочлена при любых целых специализациях. Для этого многочлена могут реализовываться оставшиеся транзитивные подгруппы группы £4: Д4, С4 и £4. Действительно, при