Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений

• Автор: Буфетов, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Центральная предельная теорема для экстремальных характеров БЕСКОНЕЧНОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
1.1. Введение к главе
1.2. Основные леммы
1.3. Доказательства теорем
Глава 2. Центральная предельная теорема для планшерелевских представлений бесконечномерной унитарной группы
2.1. Введение к главе
2.2. Предварительные сведения
2.3. Формулировка результата
2.4. Подсчет ковариации
2.5. Доказательство асимптотической гауссовости
Глава 3. Перемежающиеся последовательности Керова и случайные матрицы
3.1. Введение к главе
3.2. Непрерывные диаграммы Юнга
3.3 Доказательство теоремы 3.1.
3.4 Доказательство теоремы 3.1.
3.5 Связь с полукруговым распределением и распределением Марченко-Пастура
Литература
Введение
Актуальность темы исследования.
Асимптотическая теория представлений изучает свойства представлений “больших” групп; фундаментальными примерами таких групп служат бесконечная симметрическая группа и бесконечномерная унитарная группа. Для подобных групп неприменимы многие методы и конструкции классической теории представлений. Тем не менее, в результате работ А.М. Всршика, С.В. Керова, Г.И. Ольшанского, А.Ю. Окунькова, А.М. Бородина и других математиков была построена теория представлений “больших” групп, выявляющая как тесные параллели с классической теорией представлений конечных и компактных групп, так и новые эффекты, но имеющие аналога в классическом случае. Одной из наиболее интересных особенностей этой теории является наличие большого количества взаимосвязей с разными областями математики, такими как алгебраическая комбинаторика, случайные матрицы, свободная вероятность, теория интегрируемых систем и другими.
Бесконечная симметрическая группа может быть определена как (индуктивный) предел последовательности симметрических групп растущего размера; аналогично, бесконечномерная унитарная группа может быть определена как (индуктивный) предел последовательности унитарных групп растущей размерности. В связи с этим возникает естественный вопрос: как связаны характеры бесконечных объектов и классические характеры конечных симметрических групп (или компактных унитарных групп) ? Оказывается, эта взаимосвязь может быть описана с помощью вероятностных мер на комбинаторных объектах — разбиениях, и предельных теорем вероятностного характера, описывающих предельное поведение таких мер с ростом размеров

групп.
Данная работа посвящена задачам асимптотической теории представлений, возникающим при анализе этих вероятностных мер. Полученные результаты естественным образом продолжают работы А.М. Всршика и С.В. Керова о характерах бесконечной симметрической группы, А.М. Бородина и П. Феррари о характерах бесконечномерной унитарной группы и связанной с ними динамики на комбинаторных объектах, С.В. Керова о взаимосвязи асимптотической теории представлений и теории случайных матриц. В то же время, в данной работе возникает новый тип вопросов — исследование предельного поведения представлений в контексте некоммутативной вероятности.
Степень разработанности темы исследования.
Пусть 5(п) — группа перестановок порядка п. Зададим последовательность
5(1) С 5(2) С • • • С 5(п) С 5(п + 1) С ...,
в которой вложение 5(п) С 5(т1+1) задастся условием, что перестановки из 5„ оставляют на месте п + 1-ый элемент. Бесконечной симметрической группой называется объединение этой цепочки групп:

5(оо) := (J S(n).

Характером бесконечной симметрической группы называется функция у : 5(оо) —> С, удовлетворяющая следующим свойствам:
1) Выполнено х(е) = 1, где е — единица группы 5(оо).
2) Для любых g, h G 5(оо) выполнено x(gh) = x(hg)-
3) Для любого A: G N и любых gi,...,gk матрица [х(яГ)]?j=i неотрицательно определена.
Легко видеть, что множество характеров S(oo) является выпуклым. Задача нахождения границы (множества экстремальных точек) этого множества была решена Э. Тома. Оказывается, что экстремальные характеры взаимно однозначно соответствует наборам параметров V = ({сц}, {/%}, у), где ßj, 7 — вещественные числа,

Тогда функция является экстремальным характером группы {/(оо), отвечающим и € П.
Сигнатурой (также называемой старшим весом) длины N называется невозрастающая последовательность из N целых чисел
А = (Л^ > А2 > ■ • ■ > Адг), А* Е й.
Хорошо известно, что неприводимые комплексные представления группы (7(ЛГ) параметризуются сигнатурами длины N (см., например, [58], [59]). Пусть Бип^(А) — размерность неприводимого представления, параметризованного сигнатурой А. Обозначим символом хЛ неприводимый нормированный характер группы (т.е. функцию на группе, равную следу соответствующего оператора деленному на Пнпм(А)), отвечающий представлению, параметризованному сигнатурой А.
Сопоставим сигнатуре А две диаграммы Юнга (А+, А“) так, что А+ задается неотрицательными а А- — отрицательными А;, то есть
а = (а+,а2+,...,-а2-,-аг).
Для диаграммы Юнга р пусть |ц| — число клеток в р, и пусть й(ц) — число клеток на диагонали диаграммы р. Пусть <^(А+) = <1+ и <1{А~) = . Определим модифици-
рованные координаты Фробениуса диаграммы Юнга р = (р,..., рк) по формуле
а1=р1-{+Х~, к = р'{-г + ^, 1 < г < <1{р), (2-2.1)
где р' обозначает диаграмму, транспонированную к р.
Пусть для каждого N даны функции /ц : II(/V) —> С, и функция / : [/(со) —> С. Будем говорить, что последовательность {/#} аппроксимирует функцию /, если для любого фиксированного Л)) £ N ограничения функций на [/(/Vо) равномерно
сходятся к ограничениям функции / на [/(Аг0).
Оказывается, экстремальные характеры [/(оо) могут быть аппроксимированы нормированными неприводимыми характерами групп [/(Лг).