Свойства функций, определимых в структурах с условиями минимальности семейств формульных подмножеств

• Автор: Вербовский, Виктор Валериевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Алматы
• Количество страниц: 111 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 О сокращении воображаемых элементов для
сильно минимальных структур типа Хрушовского
1.1 Введение
1.2 Построение сильно минимального множества
1.3 О слабом сокращении воображаемых элементов
для построенных структур
1.4 Примеры Хрушовского не обладают свойством
конечного множества
1.5 Сильно минимальные структуры, допускающие сокращение воображаемых элементов
ГЛАВА 2 О глубине формул слабо о-минимальных структур
2.1 Конечная глубина и сильная монотонность
2.2 Примеры слабо о-минимальных структур
Г ЛАВА 3 Косет-минимальные упорядоченные группы
3.1 Введение
3.2 Одноместные функции в дискретных группах
3.3 Одноместные функции в плотных группах
3.4 Лемма о замене
Заключение
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В теории моделей, разделе математической логики, одним из классических объектов исследования являются полные теории первого порядка, которые подразделяются на стабильные и нестабильные. Следуя пути от простого к сложному, среди и тех, и других теорий естественным образом выделяются теории, которые по тем или иным соображениям можно назвать простыми. Так возникли понятия минимальности (сильной минимальности, о-минимальности, слабой о-минимальности, квази-о-минимальности) теории, когда параметрически определимые подмножества моделей данной теории удовлетворяют некоторым условиям простоты .
Данная работа посвящена изучению сильно минимальных и слабо о-минимальных моделей, косет-минимальных упорядоченных групп — структур, которые определяются особо простой формой определимых подмножеств.
Вспомним, что структура М называется сильно минимальной, если для любой структуры N, элементарно эквивалентной М, каждое определимое (с параметрами) подмножество А множества N либо конечно, либо коконечно, то есть конечно NA. Это понятие было введено Д. Бол-двином (Baldwin) и А. Лахланом [1] (Lachlan). Заметим, что изучение сильно минимальных структур оказало существенное стимулирующее воздействие на создание плодотворных идей и методов, таких как теория размерности, модулярность, ортогональность и другие, и остается одним из главных направлений в теории моделей.

Так в 80-е годы Б. Зильбер посвятил ряд статей [2, 3] изучению сильно минимальных счетно-категоричных теорий и выдвинул гипотезу, что все сильно минимальные теории делятся на три класса: тривиальные, локально модулярные и обогащения алгебраически замкнутого поля.
Это деление можно связать с понятием “размерность”, которую можно проиллюстрировать тремя примерами.
(1) мощность множества: пусть М — некоторая модель, А - конечное подмножество М, тогда размерность с1(А) есть число элементов А;
(2) проективная размерность: здесь М — векторное пространство над полем к, А — конечное подмножество М и с1(А) есть размерность векторного пространства над полем к, порожденного А
(3) степень трансцендентности: в данном случае М — поле, к — некоторое подполе М, А — конечное подмножество М, и тогда й{Л) есть степень трансцендентности поля к (А) над полем к.
Первый случай является примером тривиальной размерности, далее следует пример модулярной размерности. Основное свойство этих двух размерностей можно выразить следующим образом: “множества, независимые над их пересечением”. То есть если взять два множества А а В, число элементов, лежащих в А, но не лежащих в В, совпадает с числом элементов А, не лежащих в А П В. Если же взять два векторных пространства и и V, то размерность II над V равняется размерности и над и П V, элементы и линейно независимы над V тогда и только тогда, когда они независимы над II Г) У. Но для поля это не верно.
В 1988 году Е. Хрушовский (НгивЬоузЙ) в работе [4] опроверг гипотезу Зильбера, построив примеры сильно минимальных не локально

(по Лемме 1.30), что (ДА) = 2. Чтобы доказать, что А < М и для последующих рассуждений нам требуется изучить конструкцию А и А.
Конструкция А'. Так как 6(1) = 5(4'), существует цепь
где Хі+і Хі ва над Х{ для г < г.
По Лемме 1.38 мы можем переписать равенство А1 — иі<гХі следующим образом:
и для каждого 1 < ] < к < существует автоморфизм д модели М, такой что д(1) = I и д(В{+щ) = Д+щ, i < р.
Отметим, что 5 £ А' А' ъ потому что А' минимально, и для любого i < р имеет место А' < М.
Для того, чтобы получить А из А' нам потребуется следующая процедура, определенная по индукции.
Шаг 0. А0 := А'0.
Шаг 1+1. Предположим, что А* уже построено. Построим А*+1.
Пусть Д+у будет тва над Су С Ар По Лемме 1.31 х(Дщ д/Др) — д(Д+;у, Су), и мы добавляем к А(+1 все множества, изоморфные над Су множеству Д+у и не лежащие в А'+1. Далее, возьмем некоторый изоморфизм д модели М, такой что д(1) — I. Если (ДД+у) <£_ А'+1, то положим это множество в А*+1 и все изоморфные множеству д(В{+у)
I = Х0 < Хг < ■ ■ ■ < Хг = А1,

где А{) = /,