Обобщенные примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразий

• Автор: Климаков, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Шрайеровы многообразия алгебр
1.2 Примитивные и почти примитивные элементы
1.3 Краткое описание работы
2 Примитивные элементы и ранг примитивности
2.1 Основные определения и примеры
2.2 Критерии примитивности элемента в свободных алгебрах шрай-
еровых многообразий
2.3 Ранг примитивности и его свойства
3 Почти примитивные элементы
3.1 Случай свободной неассоциативной алгебры малого ранга
3.2 Случай свободной неассоциативной (анти-) коммутативной алгебры малого ранга
3.3 Случай свободной алгебры Ли малого ранга
3.4 Почти примитивность элемента и его старшей части
3.5 р-число однородного элемента свободной алгебры
произвольного ранга
3.6 Критерии почти примитивности однородного элемента
3.7 Почти примитивные элементы свободного произведения свободных алгебр
Заключение
Список литературы

1 Введение
1.1 Шрайеровы многообразия алгебр
Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920-х годах Нильсен [50] и Шрайер [55] доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош [11] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов [22] показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен также Виттом в [60], где также было доказано, что многообразие всех р-алгебр Ли является шрайеровым).
А. И. Ширшов в [21] показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалев [13] и А. С. Штерн [23] показали, что многообразие супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалев [14] получил этот результат для цветныхр-супералгебр Ли. А. И. Корепапов [9] доказал, что подалгебры свободных супсркоммута-тивных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко [36] получил обобщение теоремы Ширшова-Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизведением. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [56] доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны.
У. У. Умирбаев в [17,58] получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеровым, и построил новые примеры шрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных П-алгебр рассматривались в [1,3,4], шрайеровы многообразия п-лиевых алгебр описаны в [8].
Группы автоморфизмов свободных алгебр конечного ранга шрайеровых многообразий порождены элементарными автоморфизмами (для алгебр Ли этот результат был получен П. Коном [32], а для свободных алгебр шрайеровых многообразий — Ж. Левиным [37]). У. У. Умирбаев [57] получил описание группы автоморфизмов свободной алгебры конечного ранга шрайерова многообразия алгебр в терминах образующих и определяющих соотношений.

1.2 Примитивные и почти примитивные элементы
Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры Т шрайерова многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры J-, содержащее подмножество М. Используя свободное дифференциальное исчисление, критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных (р-)алгебр Ли и свободных (р-)супералгебр Ли были получены в [6,49], для свободных неассоциативных алгебр — в [43]. Алгоритмы распознавания примитивных систем элементов и построение дополнения до множества свободных образующих для свободных неассоциативных, свободных (анти-) коммутативных неассоциативных алгебр были построены (в том числе с компьютерной реализацией) в [15,16,18].
Ненулевой элемент свободной алгебры Т называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры J7, но является примитивным элементом в любой содержащей его собственной подалгебре алгебры }-. Почти примитивные элементы в свободных группах изучались в работах [28,33,35,52-54]. Изучение почти примитивных элементов свободных алгебр было начато в работе А. А. Михалева и Дж. Т. Ю [46]. В частности были построены примеры почти примитивных элементов в свободных неассоциативных алгебрах, свободных (р-)алгебрах Ли и (р-)супералгебрах Ли малых рангов. Используя свойства свободного произведения свободных алгебр, были построены серии примеров для свободных алгебр произвольного ранга. В работе А. В. Михалева, У. У. Умирбаева, Дж. Т. Ю [44] рассматривались свободные алгебры Ли и было доказано, что элементам = (ас1ж)А:(у) + (ж)(Ас1у);, где (adw)(n) = и * v = (и)(Adv) и * является операцией умножения, в свободной алгебре Ли Ь(х,у) является почти примитивным при к,1 ^ 2 и к ф I.
1.3 Краткое описание работы Актуальность темы
Классической задачей комбинаторной алгебры является задача распознавание различных комбинаторных свойств объектов. На протяжении последних ста лет проводится изучение свободных структур: свободных групп, свободных модулей, свободных алгебр, их подструктур, элементов, отображений. Исследованию свободных групп и подгрупп были посвящены первые работы Нильсена и Шрайера в 1920-х годах, вопросами неассоциативных свободных алгебр в 1940-60-е годы занимались А. Г. Курош, А. И. Ширшов, их ученики.

которое нам надо решить, с известной левой частью:
хАх + уАу + Лтхх + Муу = и = гС + Ог -Ф=>
<ч==т> хАх “1" уАу -Ь А1хх -Р А1уу и (^кхх куу^С -р П)(кхх -Р куу) х(кхС - Лж) + у{куС - Ау) + {кхИ - + (куБ - Му)у = О
' кх(а1,...,айУе$*У = О,
кхС Л.х — О, куС — А. у — О, кхВ - ЛГд. = О, куВ — Ату = О
кх(Ьі,..., Ь&У - (єУх,.. -,Є£ХУ = О,
-Кхі
. ку(Ьи Ьау - (є^*,..., є^У = О,

где (.. -У — вектор-столбец коэффициентов — элемент линейного пространства К. Приравнивая покомпонентно, получаем систему уравнений на неизвестные переменные кх, ку € К и {а^}^=1, {bj}f=1 £ К при известных {£г-*}^=1,
{е?*уи, е К:
кха^ р^-Х 3 =
куа1 -£Лв 3 =
кх^ ~£М* 3 =
куЪ3 Ку й
ч ~ kyЄj1 о II
Ку 3 V?" = 0,/
кха] 3 = 0,'
кУаз ьз = 0,
кх ф _ Кх 3 = 0,
куЬ] Ку — £ ■ 3 = 0,
причем хотя бы одна из переменных кх,ку и хотя бы одна из переменных {ф}^=1 должны быть отличны от нуля. Если верхняя подсистема (первые два уравнения) имеет только тривиальное нулевое решение кх =
О, к,
О, то все Лх = Ау = Ых = Му = 0, что следует из нижней подсистемы (оставшихся четырех уравнений). Нетрудно убедиться, что верхняя
подсистема имеет нетривиальное решение (кх, ку) тогда и только тогда, когда

существует в € К, такое что Ах •У, А1Х Лу тогда же из нижней подсистемы можно получить нетривиальное решение ({а^}^=1, {Ь^^У). Таким образом, критерием несуществования нетривиального решения системы (а значит,
непредставимости и в виде и = агС+(дИг) является несуществование такого

коэффициента пропорциональности в € К, что Ах /'Ч_/ Лу, А?х ~ А1у. □
, М,у
Следствие 3.11. Существует алгоритм, распознающий почти примитивные однородные элементы алгебры Е1 (х, у).