Слабо дополняемые подгруппы и перестановочные инволюции конечных простых групп

• Автор: Лихарев, Анатолий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 56 с.

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Конечные простые группы с заданным числом сопряженных и перестановочных инволюций

§11. Предварительные сведения

§ 1 2. Гипотеза о сопряженных и перестановочных инволюциях конечных простых групп

§ 1.3 Исследование гипотезы А для групп Шевалле исключительных типов над полями характеристики 2

Глава 2. Конечные слабо факторизуемые группы

§ 2 1. Постановка задачи и основные результаты

§ 2.2 Некоторые свойства и известные результаты

§ 2 3. Слабо факторизуемые группы Шевалле малых рангов

§ 2 4 Максимальные факторизации групп Ьп(д)

§ 2 5 Исследование гипотезы В для групп Шевалле

§ 2.6. Случай знакопеременных и спорадических групп
Список литературы

В диссертации исследуется вопрос о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах, исследуется и вопрос ограниченности числа конечных простых групп с заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.
По известной теореме Р Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [2] Зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизатора инволюций исследовалась в работах [4], [5], [21]
Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе С обозначаем через т°, а централизатор т в С — через Сд{т).
В. П Шунков ввел параметр вложения инволюции г в группе (7, определяя его равенством
*( Он разрабатывает обобщение теоремы Брауэра, исходя из предположения:
Существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции ( [21]).
С другой стороны, В. М Левчук высказал следующую гипотезу
»И]
Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп С с инволюцией т такой, что
|Сс{т) Г) т°| < М.

Справедливость гипотезы известна для групп Р6'А„(д) (краткое обозначение Ьп(д)) с четными д, для знакопеременных групп и для групп лиева типа ранга 1 [4], [5]. По модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств групп лиева типа.
Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и предположения Шункова Число Со(т) П т° называют сопряженно-коммутативной шириной инволюции т в группе б? и обозначают через ссш((7, т). В терминах ширины неравенство из гипотезы А можно заменить неравенством ссш(б?, т) < М
В диссертации гипотеза А исследуется для групп Шевалле исключительных типов
Центральное место в диссертации занимают исследования вопроса о конечных слабо факторизуемых группах Наряду с гипотезой о слабо факторизуемых конечных простых группах.
Напомним, что подгруппу М называют дополняемой в группе (7, если в (7 существует дополнение к ней, то есть подгруппа К такая, что М П К = 1 и МК — б Слабо дополняемой в б назовем подгруппу, которая дополняема в некоторой большей (по включению) подгруппе или совпадает с <7
Группы с дополняемыми подгруппами, называемые вполне факторизуемыми, изучены в работах Ф Холла [30] , Н В Баевой (Черниковой) [1] и С. Н Черникова [20], [19] Они исчерпываются полупрямыми произведениями Р X К подгрупп Р и К, разложимых в прямое произведение конечных циклических групп простых порядков, причем все сомножители в Р можно выбрать нормальными в группе
Более широкий класс образуют слабо факторизуемые группы, то есть группы со слабо дополняемыми подгруппами К ним относятся, например, конечные группы простого показателя, существенность условия конечности показывает пример бесконечной р — группы Ольшанского с максимальными подгруппами простого порядка р Более двадцати лет остается открытым вопрос 8 31 из Коуровской тетради об описании конечных слабо факторизуемых групп

поскольку |Я| - нечетное число, п - нечетное число Таким образом, п — р - простое число и (р — 1)/2 - нечетное число В частности, Р> 7.
Теперь, пусть Я — стабилизатор в С трехточечного множества {1,2,3}. Тогда Я = (5п_з х 5з) П С — максимальная подгруппа в С. Пусть Я — дополнение к Я в (? Тогда, аналогично рассуждениям выше, получаем |Я| = п(п— 1)(п—2)/6 и, поскольку п(п—1)/2 и (п—
2) - нечетные числа, Я — группа нечетного порядка и, в частности, разрешимая Поскольку п — р и |Я| делится на р, подгруппа Я действует транзитивно на О, Пусть N — минимальная нормальная подгруппа в Я Тогда |Я| = дт, где д-простое число Если дт ф р, то НОД (|Я|,р) = 1 и N оставляет неподвижной некоторую точку из £1 и, следовательно, равно 1 Поэтому |Л'| = р и N — группа, порожденная циклом длины р Теперь р(р — 1 )(р — 2)/6 < |Я| < |Яс(Я)| = р(р — 1)/2, откуда (р — 2)/3 < 1 и р < 5 Противоречие Лемма доказана
В силу предыдущей леммы и изоморфизма Лз ~ 1/4(2) остается доказать теорему 2 2.1 для знакопеременных групп степени >11
В знакопеременной группе С = Ап к стандартным относят подгруппу (Ба I йь) П О для натуральных чисел а и 6, аЬ < п Справедлива
Лемма 2.6.3. Пусть С = Л„ - знакопеременная группа степени п = аЪ > 11, где а > 2 и Ь > 2. Тогда (50 ^ 5ь) П Я - максимальная подгруппа, не входящая ни в одну максимальную факторизацию группы С.
Доказательство. Описание максимальных факторизаций знакопеременных групп известно Волее того, справедливо (см [35, Теорема Б и ее следствие]) следующее утверждение
Пусть С = Л„, п > 5, и С = АВ, где А,В~ собственные подгруппы Тогда либо подгруппа В является к— однородной и Ап-ь <1А < (Бп-к х ДО для подходящего к, 1 < к < 5, либо п = 6,8 или
Поэтому подгруппа (50 ? Бь) П Я, п = аЬ, а > 2, Ь > 2, согласно [33], являющаяся максимальной при п > 5, не входит при п > 11 ни