Скрученные подмножества в группах

• Автор: Мыльников, Андрей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Общее введение

I Свойства скрученных подмножеств

1.1 Введение

1.2 Известные результаты

1.3 Общие свойства скрученных подмножеств

1.4 Скрученные подмножества и ипволютивпые автоморфизмы группы

1.5 Скрученные подмножества н Z*-TeopeMa Глаубермаиа

1.6 Ипволютивная декомпозиция группы

1.7 Теорема Лагранжа для скрученных подмножеств

II Перекрученные группы

11.1 Введение

11.2 Известные результаты
11.3 Вспомогательные результаты
11.4 Общие свойства перекрученных групп
11.5 Абелевы перекрученные группы
11.6 Перекрученные группы Миллера-Морено
11.7 Конечные пильпотен гные перекрученные группы нечетного порядка
11.8 Разрешимость конечных перекрученных групп
11.8.1 Редукционная теорема
11.8.2 Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы

~2II.8.3 Двухстуненпия разрешимость коночной перекрученной
группы
II.9 Минимальные пенерекрученные группы
11.9.1 MNS-гpyнIIЫ четного порядка
11.9.2 Нилыютептиые МИЗ-груипы почетного порядки
11.9.3 Ненильпотептпые М^-группы почетного порядка
III Конечные минимальные негрупповые скрученные подмножества
III. 1 Введение
111.2 Известные результаты
111.3 Свойства МКС-п од множеств
П1.4 МКС-подмпожества с инволюциями
111.4.1 МКС-подмпожества, содержащие более одной инволюции
111.4.2 МНС-нодмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую 2-подгруппу
111.4.3 Редуцированные МКС-подмпожества, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-подгруппу
ІІІ.4.4 Нередуцированные МКС-подмпожеетва, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-подгруппу
III.5 МКС-подмпожества без инволюций
Литература

Общее введение
Актуальность темы. Главным объектом изучения I! диссертации является понятие скрученного подмножества в группе. Данное понятие принадлежит Беляеву В.В.
Дадим определение скрученного подмножества.
Определение 1. Подмножество К из группы С! называется скрученным подмножеством, если 1 Е К и для любых х,у из К ху~хх Е К.
Примеры скрученных подмножеств.
(1) пусть С — группа и т — инволюция из С. Тогда подмножества. К := та и {1}, Т {тю!,у Е (?}, I {у Е 6? : дю = #-1} являются скрученными подмножествами.
(2) множество симметрических матриц I! любой матричной группе М является скрученным подмножеством.
Стоит сказать, что скрученное подмножество из примера (2) совпадает с таким под множеств,ом матриц из М: {В Е М : <р(В) = Л-1}, где автоморфизм группы М, действующий на М так: для любой матрицы А из М 1р{А) = {Ат)~1.
Сразу отметим, что в работе М. Ашбахера |15| рассматривается аналогичный объект, называемый им скрученной подгруппой и определяемый следующим образом: Подмпоэкжпшо К из группы С называется скрученной подгруппой, если 1 ЕК и для любых х,у из К хухЕК.
Нетрудно показать, что скрученные подмножества являются скрученными подгруппами, по обратное не всегда верно. В случае, когда группа является периодической, скрученная подгруппа является скрученным подмножеством.

ІІ.6 Перекрученные группы Миллера-Морено
В данном разделе доказывается следующая теорема, необходимая для доказательства теорем 5, С.
Теорема 6.1 Пусть С = Л < Ь > - группа Миллера-Морено нечетного порядка, где А элементарная абелева р-группа порядка р", |6| = у, р ф у,р, у — простые. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Є перекрученная группа;
2) п - нечетно.
Доказательство. Прежде чем доказывать теорему 6.1, введем несколько понятии, используемых в доказательстве, и рассмотрим некоторые их свойства.
Везде, далее, в доказательстве леммы 6.1 В нодкольцо ЕгиІА, порожденное у>ь таким, что для любого а из А срь(а) = Іп'аЬ. Для обозначения групповой операции в А используется аддитивная форма записи. Нейтральный элемент і! А обозначается символом "О".
(1) в — поле и для любого элемента а из А{0} А = {ф(а)ф Е В}.
Следует из леммы 3
(2) Пусть е Е /1{0} и отображение т : В —> А определено следующим образом: для любого ф из В т(ф):=ф(е). Тогда т биекция.
Из (1) получаем, что т — еюрьекция.
Отображение т “ инъекция, так как если существуют у>,ф из В такие, что ір(е) = ф(е), то (<р — ф)(е) — 0 и, значит, ввиду (1), у) — ф = 0, т.е. у> = ф. Таким образом, т биекция.
(3) |С| = |Л|=Р”.
Следует из (2).
(4) Пусть с Є /1{0}. Поедем на А бинарную операцию следующим образом: для любых х = у>(е),у = ф(е) из А, где <р,ф Е В, хлу := (ррф)(с).