Разложения простых неассоциативных алгебр и супералгебр

• Автор: Твалавадзе, Марина Вахтанговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Настоящая работа посвящена изучению всех типов простых нетривиальных разложений в специальных йордановых алгебрах и супералгебрах над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае йордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае йордановых супералгебр. Под термином простое (полупростое) разложение произвольной алгебры J мы подразумеваем представление J в виде суммы двух простых (полупростых) собственных подалгебр. Причем сумма в этом разложении не обязана быть прямой. Структура простых и полупростых разложений изучалась также и для других типов алгебр. Например, для конечномерных простых ассоциативных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем Ю.А. Бахтурин и
О. Кегель в статье [9] доказали невозможность разложения в сумму собственных простых подалгебр. В лиевском случае A.JI. Онищик в работе [3], используя топологические методы, классифицировал все возможные полупростые разложения полупростой комплексной или вещественной алгебры Ли.
В первой главе настоящей работы приводится необходимая классификация простых йордановых алгебр и йордановых супералгебр. Как известно, согласно теореме Зельманова [27], всего существует пять типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых алгебр, обозначаемых следующим образом: B(f) = F + V — алгебра невырожденной билинейной формы /, dim V > 1; H(Fn), п > 3, — алгебра симметрических матриц порядка ті; Н(Лп), п > 3 — алгебра, изоморфная полной
матричной алгебре Fотносительно йорданова умножения; H(Qn), п > 3, — алгебра симплектических матриц порядка 2п. Кроме того, существует одна 27-мерная исключительная простая йорданова алгебра Н(С$), называемая в некоторых источниках алгеброй Алберта.
Йордановы супералгебры впервые изучались Кацем [12] и Капланским [16, 17]. В [12] наравне с классификацией простых конечномерных супералгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, используя ТКК-конструкцию (Tits-Kantor-Koecher construction). В [23] Расином и Зельмановым эта классификация была расширена до случая простых конечномерных йордановых супералгебр с полупростой четной частью над полем характеристики р > 2.
Вторая Глава IIосвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J. Этот результат был получен совместно с Т.В.Твалавадзе. Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для йордановых алгебр типа Н (7?п), где Т> — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа H(Fn) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр (см. параграфы 2.4 и 2.5). Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов H(1Z„) и H(Q„) доказаны в диссертации Т.В.Твалавадзе.
Для того, чтобы описать все возможные простые разложения алгебры B(f) — F © V — невырожденной симметрической

билинейной формы /, мы зафиксируем некоторый базис {е е„}, ортонормированный относительно формы /. Обозначим через Jj. = F ф V*, где V* = span (е е*), к = 2, ...,п — 1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение /|ц — невырожденное. Кроме того,
J2 с 3% С ... С Jn-1, dim Л = fc + 1. Если £(/) = В + С, где В, С — простые йордановы подалгебры, dim В > dim С, то найдутся автоморфизмы (риф алгебры J такие, что В — <р(Л), С = ip(J'p), к + р > п, в случао непрямой суммы, и В
С = w{F)1 в случае прямой суммы. Верно и обратное утверждение, а именно, указанные выше разложения существуют в алгебре
адНаконец, третья Глава IIосвящена разложениям специальных йордановых супералгебр в сумму простых собственных
^ нетривиальных (с ненулевой нечетной частью) подсупералгебр.
Шаг за шагом, мы переходим от супералгебр типов M„^m(F), osp(n,m), -P(n), Q(n), J(V,f) к трехмерной супералгебре
Капланского К% и четырехмерной однопараметрической супералгебре D). В отличие от йордановых алгебр, во всех типах, кроме M„jm(F) и J(V, /), простых разложений не существует. Во многих случаях, для доказательства, мы применяем наши результаты о классификации разложений простых йордановых алгебр к случаю супералгебр. Кроме того, конструкция универсальной ассоциативной обертывающей алгебры для йордановой супералгебры (см.[18]) помогает в некоторых случаях свести исходное разложение к разложению ассоциативной алгебры в сумму полупростых ассоциативных подалгебр. Такие разложения можно исследовать применяя результаты из [9].

Предположим, что S(A) = Mn+m(F). Так как А = Р{к), то S(A) = Mïk{F), откуда 2к = п + т, к = 2уа. В частности, к > п. Следовательно, яДДо) = {0} и тг2(Ло) — Н(Р-к)- Это означает, что Ао Ç h■ В частности, единица е подсупералгебры А принадлежит /2. Для любого х е Ai, хе + ех — 2х. Отсюда вытекает, что ехе + ех = 2ех, ех = 2ех, так как ехе = 0, то есть ех = 0. Аналогично, хе — 0, то есть х = 0, где х — произвольный элемент из Ai, что невозможно.
В заключение, нам осталось рассмотреть случай п = т и А = Р(п). Но в этом случае очевидно, что S(A) = Mik(F) и S(A) = М2n(F) тогда и только тогда, когда к = п. Лемма доказана
Лемма 3.1.5 Пусть M„jm(F)0) = Д + Н, п,ш > 0, тогда одна из подсупералгебр в разложении имеет тип osp(p, q), где p + 2q = п + т или Р(п) ( только в случае п = т).
Доказательство. Предположим противное, то есть, что ни А, ни В не являются подсупералгебрами вышеуказанных типов. Тогда, согласно лемме 3.1.4, Д(Д) и S(B) являются собственными ассоциативными подалгебрами в Mn+m(F). Из теоремы 3.1.2, вытекает, что S(A), также как и S(B), является либо простой подалгеброй в Mn+m(F), либо полупростой подалгеброй, которая, в свою очередь, является суммой двух или более простых изоморфных между собой идеалов. Следовательно, для такой подалгебры получаем <Лт5(Д) < fc2(s±is) = (п + т)к, где к2 — размерность каждого простого идеала, к — целое число, к > 1. Далее, если в разложении Mn+m(F) = S(A) + S(В) одна из подалгебр имеет аннулятор, то в силу предложения из [9],