Системы уравнений над алгебраическими системами с порядком

• Автор: Дворжецкий, Юрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Предварительные сведения из алгебры логики

1.2 Сведения из теории моделей

1.3 Предварительные сведения из теории решёток

1.3.1 Решётки, дистрибутивные решётки

1.3.2 Дополнения, алгебры Ершова

1.4 Сведения из универсальной алгебраической геометрии

1.4.1 Основные определения

1.4.2 Алгебраическая геометрия над булевыми алгебрами
Глава 2. Атомарная стабильность
2.1 Типы и атомарные типы
2.1.1 Полный тип п-ки элементов над множеством
2.1.2 Атомарные типы п-ки элементов над множеством
2.1.3 Атомарные типы над множеством
2.1.4 Атомарные типы теории
2.2 Атомарная стабильность
2.3 Атомарная Л-стабильность
2.4 Нётеровость по уравнениям и атомарная стабильность
Глава 3. Системы уравнений над дистрибутивными решётками
3.1 Нормальный вид систем уравнений в дистрибутивных решётках
3.2 Нётеровость по уравнениям дистрибутивных решёток
3.3 Дистрибутивные решётки и слабая нётеровость по уравнениям
3.4 Нормальный вид систем уравнений в алгебрах Ершова

3.5 Нётеровость по уравнениям алгебр Ершова
3.6 Другой нормальный вид систем уравнений над алгебрами Ершова
3.7 Слабая нётеровость но уравнениям в алгебрах Ершова
Глава 4. Системы уравнений над решётками с выделенным идеалом 76
4.1 Идеалы в решётках, решётки с выделенным идеалом
4.2 Нётеровость по уравнениям в решётках с предикатами
4.3 Канонический вид систем уравнений
4.4 Слабая нётеровость по уравнениям в булевых решётках с идеальным предикатом
Заключение
Литература
Введение

Актуальность темы исследования
Системы уравнений и их решения над алгебраическими системами рассматривались Г. Баумслагом, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленнико-вым. В работах [9,18] была построена алгебраическая геометрия над группами. Подходы, применённые в этих статьях, были обобщены Э. Ю. Дания-ровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым на случай произвольной алгебраической системы в работах [2,11-14].
В работах [2,11-14] задача классификации алгебраических множеств с точностью до изоморфизма сведена к задаче классификации координатных алгебр. Также в этих работах доказаны так называемые объединяющие теоремы, которые показывают эквивалентность семи различных способов описания координатных алгебр.
Необходимым условием применения этих объединяющих теорем для какой-либо алгебраической системы является наличие у этой системы свойства нётеровости по уравнениям.
Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым в работе [13] было показано, что все результаты применимы не только к алгебраическим системам (без предикатных символов), но и к системам с произвольным языком. Следовательно, стало возможным говорить о нётеровости по уравнениям вообще в произвольных системах.
Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым было доказано, что объединяющие теоремы, а также некоторые другие результаты верны не только для нётеровых по уравнениям алгебраических систем, но и для систем с более слабыми свойствами [11]. Таким образом, были сформулированы понятия слабой нётеровости, qш- и пш-компактности. Соответствующие классы нётеровых и слабо нётеровых систем обозначают N

Т. к. Т — полпая теория, то это означает, что она является атомарно нестабильной (определение атомарной нестабильности дано только для полных теорий). По определению атомарной нестабильности (Определение 37) существует модель А = {А] С) теории Т, формула <р(х,у) Є Рс(жу), где |.т| = у = п и такая последовательность п-ок {аі}г-єК ^ ИДД)”, что:
Уг',ієМ А [= ір{аі} а,-) О і < j.
Обозначим через АЛ множество всех таких моделей А.
Рассмотрим для формулы <р(х,у) формулу -чр(у,х), которая также лежит ИЗ Рс(хи у). Конъюнкция этих формул £(х,у) = ір(х,у) Л -чр(у,х) определяет отношение порядка на моделях из АЛ. но тем не менее £(х,у) £ Рс{х и у), т. е. £(х, у) не является атомарной формулой или отрицанием некоторой атомарной формулы.
Введём V = (Р; <р) и О = ((£; <д) ~ произвольные порядки из Факта 5 для кардинала Л, заданного в условии теоремы. Для каждого в Є Р введём п-ки с3 новых констант, отсутствующих в С, и, добавив их в язык £, построим новый язык С = С и {с5 : а Є Р}. Конъюнкция £(ж, у) = <р(х,у) Л -чр(у,х) определяет на интерпретациях этих гг-ок с3 линейный порядок.
Запишем теорию и языка С:
I/ = Т и {ф(с3, с4) : 5 < £ б’, і Є Р] и {->ф(сі, Св) : а < і, а, і Є Р} .
По построению £(ж, у) и п-ок с3, а Є Р, для любого конечного подмножества формул теории I/ можно найти модель из (М), поэтому по теореме компактности (Факт 2) существует модель В = (Р; С) всей теории Р.
Выберем среди всех моделей В — (В; С), такую что |£| < А.