Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе

• Автор: Нетай, Игорь Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 49 с.

Содержание

Глава 1. Введение

1.1. Постановка задачи

1.2. Основные результаты диссертации

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Комплекс Кошуля

2.2 Проективные координатные алгебры

2.3. Когомологии алгебр Ли

2.4. Резольвенты пучков

Глава 3. Обозначения и комбинаторика

3.1. Комбинаторные кубы

3.2. Представления
3.3. Диаграммы
Глава 4. Изотинические компоненты комплекса Кошуля
4.1. Вложение Сегро
-1.2. Квадратичное в. южение Веронезе
Приложение А. Представления с простым спектром
АЛ. Классификация представлений со свойствами 3.2.1 и 3.2.
Приложение Б. Взвешенные проективные пространства
Приложение В. Примеры
13.1. Си шпш
В 2. Резольвенты пучков
I [> б шкации но 1сме диссертации
Список литературы

Глава
Введение
1.1. Постановка задачи
Работа посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств.
Для любого проективного многообразия X с Р(1Г) рассмотрим проективную координатную алгебру А = в/1(Х) как градуированный 5-модуль, где 5 = к [ТУ] — алгебра многочленов на пространстве IV и 1(Х) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента
...-4~Р2-^Р1-^Р0~ А—-О,
являющаяся точной последовательностью свободных градуированных 5-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях [5], если выбирать минимальный наборы образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получим конечную свободную резольвенту. В каждом таком модуле Рр выберем минимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через Ер_д его д-ую однородную компоненту. Обозначим через (р) сдвиг градуировки на р, то есть прибавление р к степени каждого элемента модуля. Тогда
Рр = (£) Рр.д ®к 3(д)-

Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала <1 имеют положительные степени. Пространство КР)Ч для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени Дм=(Тогр5(Дк))9, (1.1)
откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора резольвенты. Пространство (Тог)) (Л, к)) — д-ая однородная компонента градуированного векторного пространства Тог))(Л,к).
В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае

нормальной рациональной кривой в проективном пространстве очень хорошо известен ответ (см. пример 2.4.5, а также [6, 26]). Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в [6]. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе [7] доказано, если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство Р3-1 пространство (Тог5_2(/, к))9_4 ф 0, то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке X (см. [26]), где / — однородный идеал кривой С.
Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого Л^-свойства. Свойство Ыр состоит в том, что = 0 для j ф г +1 и 1 ^ г < р, а также Я0^ = 0 при ^ 0 и 7?о,о = к. В частности, Щ означает проективную нормальность, /Д означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в [17]. В работе [9] исследовано свойство Хр для вложений Веронезе. В работе [10] исследуется А^-свойство кубического вложения Веронезе. В работе [11] исследовано свойство 1УР для вложений Сегрс. В работе [12] свойство 1Гр исследовано для флаговых многообразий. В работе [13] исследуется связь свойства Хр для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.
Допустим, группа С С вЦИД линейно действует на проективном пространстве 1Р(77) и сохраняет многообразие X С Р(ИД. Значит, группа (7 сохраняет и идеал 1(77). Отсюда можно получить действие С на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы С.
В работе [8] найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грассман-нианов Ог(2,п), и описаны представления группы СЬ(п) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе [14] показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.
В данной работе мы исследуем вложение Ссгре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 1/2,2 и 1.2.4. В замечании 4.1.11 мы доказываем некоторое свойство умножения в сумме пространств сизигий

Замечание 4.1.11. На прямой сумме пространств сизигий существует естественная структура алгебры. Рассмотрим комплекс Кошуля К* вложения Сегре (определённый в 4.1) и выберем эквивариантные проекцию р и вложение г:
А = К9~ТГ(Кв),

где р о г = Ы. Обозначим умножение на комплексе Кошуля через тт. Тогда умножение на сизигиях можно задать формулой
ги(х,у) = р(тт{фх)ф{у))).
Обозначим У — [^рчУт,п{р, Ч, ш: ф Ев1 УГ 0 ф Е,2РГ -4 0 ЕЙЗТТ*
01 02

можно задать структурными константами 9.
Рассмотрим три отмеченных диаграммы 61,62.63 е К. Тогда из теоремы 1.2.2 имеем ш(6,) = (е(^,Дг),е(м', 5»)), где Si = 1(щ). Тогда ф О,
если И ТОЛЬКО если 6Ц + Й2 = 53 И М3 С Ь>1 0 М2 во внешней алгебре А'У*. (Напомним, что Л*ТУ* = II* 0 V*,.)
Очевидно, что если йз ф + §2 или г3 ^ Г] 0 Д>, то из однородности и
эквивариантности умножения ^ = 0. Допустим, 53 = йх + йг и м3 С гд0г/
Тогда твф д ф 0, так как (Т-подмодуль Е^РР* лежит ет(ЕдРР*, Е^РР*), имеет кратность 1 в комлсксе Кошуля К' и в сизигиях, и проекция р поэтому его не зануляет.
4.2. Квадратичное вложение Веронезе
Пусть С = ОЬ(У), где V — векторное пространство размерности п. Обозначим К* комплекс Кошуля вложения Веронезе Р(У) С Р(8ут2 V):
... -> Ар+1 Эут2 V* 0 Бут“"1"9-2 V* -э
-> Ар Бут2 К* 0 8ута+9 У* ->
-)• Л^1 Бут2 V* 0 Бут°+9+2 V'* (4.4)