Проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми

• Автор: Мирзоабдугафуров, Каримжон Иброхимжонович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля
1.1 Вспомогательные леммы
1.2 Теоремы об оценках коротких кубических
тригонометрических сумм
1.3 О среднем значении коротких сумм Вейля
2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для кубов
с почти равными слагаемыми
2.1 Вспомогательные леммы
2.2 Особый ряд
2.3 Асимптотическая формула для девяти кубов в проблеме Варинга
Литература

Обозначения
е(а) = е2жга = cos 27га + г sin 2-ка.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения, с, Ci, ca, ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же. є-положительные сколь угодно малые постоянные.
L = ln N - натуральный логарифм N.
ip(q) - функция Эйлера.
т{п) - число делителей числа п.
C(s) - дзета функция Римана.
Г(п) - гамма функция Эйлера.
[ж] - целая часть числа х.
{ж} - дробная часть числа ж.
(І ж I! = min ({ж},1 - {ж}) - расстояние до ближайшего целого числа.
(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Запись А <С В или А = 0(В) означает, что существует с > 0 такое, что А < сВ.

Введение
Впервые простейшие тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя “суммы Гаусса’’:
Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.
Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы:
где (р{х) = апхп +

шх ~ т = Л.2 Ы < У
7711 = 777 + /12
2 У Е ЕЕ е(Зск/11 /12(Л-2 + 1 ”Ь 2тп)),
11 |<и 1*2 |<г/ "*£-2
/2 =(а; — у, ж) п (ж — у — /11, ж — /11) П (ж — у — /12, ж — /12)П Г) (х — у — к1 — /12,ж — /11 — /12).
Следовательно,
где г (К) - число решений уравнения З/11 /12 (/12 + /11 + 2771) = к относительно /1Ь/12 и 771; |/111 < у, |/12| < У, 771 6 /2.
Заметим, что если Л. 7 0, то г(к) <С тз() ке и г(0) < 4у|/2| < 4у2 ввиду того, что уравнение /11/1/12 + /11 + 2т) = 0 имеет только решение вида (0, /12,771) и (/11, 0, 771) и /11 + /12 + 2гт1 > 0, так как тп > х — у > у, /11, /г2 < у.
С другой стороны,
(1.3.6)

|Т(а; ж, у) |4 = е(а(п + тг| - ш? - т))
Х-у<П,П2,т,ТП2<Х
(1.3.7)

где $(/1) - число решений уравнения
7711 + 777-2 — П1 — Т12 = /1, X — у < 7711, 2, Щ,
В равенстве (1.3.7) полагая о; = 0, находим
(1.3.8)

Пользуясь соотношением (1.3.5), найдем

(1.3.9)