Системы порождающих алгебры инвариантов представлений колчанов

• Автор: Лопатин, Артем Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 93 с.

1. Относительно свободная алгебра с тождеством д?=0
1.1. Определения и обозначения
1.2. Замечания о работе с тождествами
1.3. Тождества некоторых однородных компонент
1.4. Случай рф0, с#Ъ
1.5. Случай р=0 или р>Ъ
1.6. Метод композиций
1.7. Полилинейная однородная компонента
1.8. Случай р
1.9. Случай р
1.10.Свойство коммутативности однородной компоненты мультистепени (3,3 3) при р
2. Матричная алгебра инвариантов 3-го порядка
2.1. Порождающие и определяющие соотношения
2.2. Вспомогательные результаты
2.3. Случай характеристики равной 3
, 2.4. Минимальная система порождающих
2.5. Однородная система параметров для трех матриц
3. Полуинварианты *-представлений колчанов
3.1. Предварительные сведения
3.1.1. Обозначения и некоторые замечания
3.1.2. *-представления колчанов
3.1.3. Распределения множеств и подгруппы Юнга
3.2. Определение и свойства ЭР
3.3. Сведение случая произвольного колчана к зигзаг-колчану
3.4. Полуинварианты‘-представлений зигзаг-колчанов
3.5. Доказательство теоремы
4. Некоммутативные инварианты
4.1. Предварительные сведения и определения
4.2. Алгебра инвариантов симметрической степени
4.3. Алгебра инвариантов внешней степени
Литература
Настоящая диссертация посвящена вопросам, связанным с построением систем порождающих некоторых алгебр инвариантов.
Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина более полутора веков назад, под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Ее первоначальной целью было изучение алгебраических выражений, не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени и взгляд на основные задачи, и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с рядом математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новые импульсы теории инвариантов. В то же время и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры (коммутативной алгебре и гомологической алгебре). Не слишком упрощая, можно сказать, что с современной точки зрения теория инвариантов — это теория действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Основы теории инвариантов изложены в книгах Спрингера [15], Мамфорда и Фогати [50], Крафта [8], Винберга и Попова [1].
Сформулируем основную проблему теории инвариантов. Все векторные пространства, алгебры, модули будем рассматривать над бесконечным полем К произвольной характеристики р (р = 0,2,3,...). Пусть редуктивная алгебраическая группа С? регулярно действует на т-мерном аффинном многообразии V = Кт. Это действие определяет естественное действие Є на координатной алгебре КУ: (д • /)(г) = /ОТ1 • ^), где / є Ку], д е Є, V є V. Через К[У}° обозначим алгебру инвариантов кольца КУ] относительно действия Є. Согласно теореме Гильберта-Нагаты об инвариантах [51], К[У]а является конечно порожденной градуированной алгеброй. Однако предложенное Гильбертом доказательство для полей нулевой характеристики, как и доказательство Нагаты для полей положительной характеристики, является неконструктивным. Поэтому основная проблема теории инвариантов

отыскание системы порождающих К[Уа — остается открытой. Кроме того, с позиций конструктивной теории инвариантов желательно отыскать не произвольную, а минимальную относительно включения систему порождающих (МСП). Понятно, что рассчитывать на удовлетворительное описание системы порождающих в произвольном случае не приходится, поэтому обычно рассматривают более конкретные ситуации.
Представления колчана впервые появились в работе Габриэля [36]. Важность этого понятия заключается в том, что категория представлений данного колчана эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй путей, ассоциированной с ним. Поскольку произвольная конечномерная наследственная базисная алгебра над алгебраически замкнутом полем является фактор-алгеброй некоторой алгебры путей подходящего колчана (например, см. главу 3 из [2]), ее конечномерные модули образуют полную подкатегорию категории представлений этого колчана. Произвольное представление колчана является набором из векторных пространств, индексированных вершинами колчана, и линейных отображений между ними, ориентированных „вдоль“ ребер. Морфизмы представлений — это наборы линейных отображений между одноименно индексированными пространствами, коммутирующие с линейными отображениями самих представлений. Множество представлений колчана фиксированной размерности естественным образом наделяется структурой векторного пространства. Его группа автоморфизмов — это прямое произведение общих линейных групп, действующих на „вершинных“ пространствах. Понятно, что орбиты этого действия тождественны классам эквивалентных (изоморфных) представлений. Построив категорный фактор этого действия, т.е. посчитав порождающие атгебры инвариантов, мы сможем разделять, по крайней мере, замкнутые орбиты, соответствующие полупростым представлениям.
Впервые эта задача была решена в важном частном случае колчана с одной вершиной и д, петлями. Его пространство представлений размерности п совпадает с пространством <1 матриц п-ого порядка, на котором СГ(гг) действует диагонально сопряжениями. Соответствующая алгебра инвариантов называется матричной алгеброй инвариантов п-го порядка и обозначается через Яп,а- В случае р — 0 порождающие и определяющие соотношения описаны Сибирским [14], Прочези [53] и Размысловым [12]. Проблема нахождения независимого от характеристики подхода к матричной алгебре была поставлена, например, Форманеком в [38]. Значительный прогресс в этой области был достигнут за последние пятнадцать лет: для произвольной харак-

3. Тождества Д3д вида (а)-(г), где а,Ь,с некоторые элементы из ВД)+ и с1,е — элементы из К(/д), следуют из (а)-(г).
Докажем свойство 3. Новые тождества вида (й)-(г), обозначим через (а*), (б,), (в,), (г*), соответственно. Выводимость (а»), (б*) из (а), (б) очевидна. В силу свойства 1 можем считать, что в (в»), (г») а — Е*=1 х», Ъ = ЕЦ+1 Хг.
Рассмотрим (в*): сгДЕ^») = Ьг((Ех,)2)- Благодаря (в), тождество (в,) следует из некоторого тождества в Дзд вида ЕАМ^) = 0, где Vi — слова степени 2. Последнее же тождество выводится из (а), (б) в силу свойства 2.
Рассмотрим (г*): скд((ЕЗ=1 х<)(Е*=н-1 х»)) = 0. При помощи (г), тождество (г*) следует из тождества в Л3д вида Е 7гН(щ) = 0, где ад — произведение некоторых слов х^Х] (г € 1,5, у € в + ГД) и Пеё(^) = 6. Переходя к однородным компонентам, считаем, что полученное тождество однородно мультистепени 0.
Пусть 0 / (3,3). Тогда все слова ад имеют степень 1 или 2 по некоторой букве хг. Свойство 2 завершает рассмотрение этого случая.
Пусть 0 = (3,3). Тогда для любого I имеем ад = (хТхя)3 для некоторых г, д, и тождество следует из (а). Доказательство свойства 3 завершено.
Теперь покажем, что (Е) : стДЛ) = 0, к > 4, к — 532т г*^г> г* € Дл следует из (а)-(д).
В силу свойства 1, можем считать г» =,щ = ад. Доказывать будем индукцией по к > 4, а при фиксированном к — индукцией по т.
База индукции. Покажем, что из (а)-(б) следует о>(ад + х2)
0. Благодаря (е)-(б), это тождество следует из тождества Л3д вида 53 а^г(ад) = 0.
Если к = 4,5, то с^(ад) = 4 или 5, и требуемое следует из свойства

Если к = 6, то, в силу (г), (д), рассматриваемое тождество следует из — сг2(афг2)—сг2(х1х1)+Ьт(х1х1х1Х2)+Ьг(х%хх2Х1) = 0. Из (е) и (й) следует <т2(т?х2) = 0, а2(х1х1) = 0. Тождество &{хххх2)+1х{хх]х2х) = 0 следует из (о), так как х{ххрх2 + х2х1х2Х1 = 0 в ЛГ3д (см. (1.13)) и см. лемму 2.8.
Если к > 7, то для любого г с^Ж1 (ад) > 3 либо бе§3.2 (ад) > 3, значит, ад — 0 в ЛГМ. Поэтому 1г(ад) = 0 следует из (а) (см. лемму 2.8).
Шаг индукции. Рассмотрим тождество Л3д сгДхх + х2) = стДад) + &к(х2) + = 0, где к} < к, ая е К. Пусть д = Е^г^г
предположению индукции стк(х2^д) = 0, сгкз.(с7|Х2_5) = 0 [кя > 3) следуют из (а)-(б). Так как 1г(хх + х2) =0 следует из (а)-(б), то