О многообразиях алгебраических систем с условиями конечности

• Автор: Васильев, Сергей Константинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 91 с.

Глава 1. Общие свойства многообразий конечного типа
1. Основные понятия, обозначения и замечания
2. Теоремы Маркова и Кублановского
3. Достаточные условия конечности типа
4. Необходимые условия конечности типа
5. Структурные свойства
Глава 2. Об алгоритмической распознаваемости конечности типа
1. Бинормальная характеристика и ее свойства
2. Алгоритмическое распознавание многообразий алгебр с единицей над бесконечным полем
3. О многообразиях наследственно конечного типа
4. Односторонняя конечность типа
5. Классификация
Литература

Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности составляет самостоятельное и развивающееся направление алгебраических исследований. В 1890 г. Д. Гильберт доказал, что в кольце многочленов от конечного числа переменных любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Затем, этот результат был перенесен на конечно порожденные алгебры над нетеровыми кольцами и нашел широкое применение в коммутативной алгебре. В дальнейшем это направление исследований получило развитие в работах многих авторов (А. И. Мальцев [13], [14], [15], [16]; А. И. Ширшов [19]; В. Н. Латышев [10]; И. В. Львов [11], [12]; Е. И. Зельманов [5], А. И. Костри-кин [7]; К. Прочези [22]; Ж. Левин [21]; В. Т. Марков [17]; С. И. Кубла-новский [8], [9]).
Говорят, что алгебра М над кольцом А является конечной, если она является конечно порожденным (к.п.) модулем над А. Говорят, что алгебра А - финитно аппроксимируема (ф.а.) если для любого ненулевого элемента а А существуют конечная алгебра М и гомоморфизм <р : А М такой, что <р(а) = 0. В 1958 г. А. И. Мальцев [15] доказал, что конечно порожденная коммутативная алгебра над полем финитно аппроксимируема, и вывел отсюда разрешимость ряда алгоритмических проблем. Эта работа А.И.Мальцева оказала существенное влияние на ход всех дальнейших алгебраических исследований в этой области.
Алгебра называется локально нетеровой (слева, справа), если она удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей двусторонних (левых, правых) идеалов. Говорят, что в многообразии алгебр
локально выполнено некоторое условие, если оно выполнено для каждой конечно порожденной алгебры этого многообразия.
В 1966 г. В. Н. Латышев [10] описал локально слабо нетеровы (л.с.н.) слева многообразия над полем характеристики 0. В 1969 г. И. В. Львов доказал [11], что многообразие алгебр над полем характеристики 0 будет л.с.н. тогда и только тогда, когда в нем выполнено некоторое тождество вида:
хупг = иіхуПігУі,
П{ <71
где щ, - некоторые слова.
В 1978 г. В. Т. Марков доказал, что многообразие алгебр с единицей над бесконечным полем будет л.с.н. слева тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет тождеству Энгеля, т.е. тождеству вида х,уп = 0, которое можно описать по индукции:
хМк+1 = [[х>УкМк 2; [*,У]2 = Х’У = ХУ УхВ 1997 г. С. И. Кублановский в работе [9] вводит понятие нормальной характеристики. Коммутативное кольцо с единицей Л называется кольцом Джекобсона, если каждый простой идеал этого кольца является пересечением некоторого семейства максимальных идеалов. Любое поле, конечно порожденнное коммутативное кольцо, кольцо полиномов над кольцом Джекобсона являются также кольцами Джекобсона. Известно, что класс колец Джекобсона замкнут относительно гомоморфных образов. Пусть / - некоторый полином от некоммуттирующих переменных над кольцом Л. Два одночлена будем считать подобными, если один моном можно получить из другого перестановкой внутренних переменных (т.е. не затрагивая
порождают Д/Д. Пусть ж € Д, тогда

Таким образом соотношение ж = ]Д*=1я7<ДД выполнено в алгебре Дт/Д, поэтому ф{ порождают Д/Д. Аналогично Д/Д конечно порожден, и по замечанию гл. 1 § 1 п. 8 получим, что Д и /2 - конечно
порождены.
Предложение 8. Пусть Л - нетерово кольцо Джекобсона с 1. Тогда существуют многообразия Ух,У2,Уз над Л такие, что Д С Уг С Уз и Рь Рз - многообразия конечного типа, а Рг - не конечного типа.
Доказательство: Рассмотрим многообразия алгебр, заданные следующими системами тождеств:
К = Мх, ф =0} = { 1а^ > = {[*, »1 = 0}
То, что многообразие Рз является многообразием конечного типа следует из теоремы 1. Конечность типа многообразия У вытекает из предложения 1. Многообразие Рг имеет левую и правую нормальные характеристики равные нулю, а его нормальная характеристика равна 1, поэтому по теореме 1 оно не является многообразием конечного типа. То, что Ух С Рг С Рз проверяется непосредственно, так как каждое из тождеств, задающих РД следует из базиса тождеств У%+х-