Рациональность и бирациональная жёсткость особых многообразий Фано

• Автор: Шрамов, Константин Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

1 Введение
1.1 История вопроса
1.2 Основные результаты диссертации
2 Основные понятия
2.1 Обозначения и соглашения
2.2 Особенности
2.3 Расслоения Мори
2.4 Разложение бирациональных отображений
2.5 Метод максимальных особенностей
2.6 (0>-факториальность
3 Двойное накрытие квадрики
3.1 Формулировка основных результатов
3.2 Исключение центров максимальных особенностей: точки
3.3 Исключение центров максимальных особенностей: кривые
3.4 Соотношения
3.5 Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях
3.6 ^-факториальность

4 Бирациональные автоморфизмы трёхмерных квартик
4.1 Группа Вп(Х)
4.2 Вспомогательные утверждения
4.3 Центры максимальных особенностей
5 ((^-факториальные трёхмерные квартики
5.1 Формулировка основного результата
5.2 (ф-факториальность
5.3 Некоторые конструкции
6 Расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4
6.1 Мотивировка
6.2 Основные результаты
6.3 Определения, обозначения и формулировки
6.4 Вспомогательные утверждения
6.5 Доказательство теоремы 6.3
6.5.1 Случай Вз|75>11
6.5.2 Случай Вв^Ц = У5
6.5.3 Случай Вэ)^! | = У
6.5.4 Случай Вв|А| = У3
6.6 Приложение к расслоением на поверхности Дель Пеццо степени
А Публикации по теме диссертации

Глава
1.1 История вопроса
Результаты диссертации тесно примыкают к классическим вопросам рациональности алгебраических многообразий и вычисления их групп бирацио-нальных автоморфизмов. Первый вопрос является одним из наиболее естественных и фундаментальных в бирациональной геометрии. Для кривых он был полностью решён ещё в 19 веке: любая кривая (как, впрочем, и любое алгебраическое многообразие) имеет неособую модель, а любое бираци-ональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма; в частности, любая неособая рациональная кривая изоморфна проективной прямой Р1. Случай поверхностей уже существенно более разнообразен и содержателен, однако тоже был полностью изучен классиками. От любой неособой поверхности 5 можно перейти к её минимальной модели й'тощ, последовательно стягивая (—1)-кривые на 5. При этом 5тгп также является неособой поверхностью и бирационально эквивалентна 5. На 8тт возможна одна из следующих ситуаций: либо канонический класс К3тт численно эффективен (то есть имеет неотрицательное

Предположим, что выполнено неравенство к' ^ 2. Проективизация плоскости По определяет прямую I, содержащуюся в неособой квадрике — (хг + yt = 0) С Р(И) ~ Р3, а проективизация гиперплоскости I = аг — плоскость в Р(Н), пересекающую ф по паре прямых I и V. Пусть / : У —> У — раздутие точки Я с исключительным дивизором Е, и Я = / 1Я. Пусть /# — ограничение / на Я. Тогда / — раздутие Я в точке Я, и исключительное множество /н отождествляется с ЕПН = ЮГ. При этом Я имеет дювалевскую особенность типа Ау-2 в точке Я' = IПI' и неособо в точках (1р1,){Р/}. Собственные прообразы пересекают прямую I и не проходят через точку Р'.
Рассмотрим разрешение особенностей / : Н' —> Я, получающееся из Я последовательностью раздутий. Пусть — исключительные кривые разрешения /, стягивающиеся в точку Я, пронумерованные таким образом, что Цц|-1 = 1 при 1 ^ г ^ к' — 1. Согласно сделанному выше наблюдению, все собственные прообразы /~1С^ пересекают одну и ту же исключительную кривую, крайнюю в цепочке исключительных кривых (скажем, 1у). Вычислим коэффициенты, с которыми исключительные кривые к входят в полный прообраз кривой С. Пусть
ГСг = Г1Сг + '£<РА
Из системы уравнений
0 = кГ Сг
(к,2 - 2щд при £ = 1,
®г,4+1 При 1 <С £ А ,
1 - 2при t = Я;