Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди

• Автор: Фейгин, Евгений Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

I. Градуированные тензорные произведения

1. Факторы по идеалам

2. Представления абелевых алгебр Ли

3. Формула для характера

4. Фермионная реализация

5. Короткие точные последовательности

II. Многообразия Шуберта

1. Геометрия многообразий Шуберта

2. яЬя как алгебраическое многообразие

3. Изоморфизмы яЬл ~ бИв

4. Линейные расслоения на

5. Геометрия общих многообразий Шуберта
6. Линейные расслоения на кЬ{;ь1-з}
III. Бесконечномерные конструкции
1. 5[2-модули
2. Разложение Ь°. Алгебра Верлииде
3. Комбинаторные вычисления
Список литературы

Пусть 0 - полупростая комплексная алгебра Ли, 0 — соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди с картановским разложением 0 = гц_®1)©п_,0® С[і] - алгебра токов (см. [К]). Пусть Р(А) неприводимое представление 0 со старшим весом Л и старшим вектором нд, а IV - группа Вейля 0. Таким образом,
У(Л) = и( п_)-нЛ,
где (/(п_) - упиверсальная обёртывающая алгебра. Напомним, что для любого веса а и ги Є IV размерности гтш1ЬаЛ и тиН,„„Л соответствующих весовых пространств в V(Л) совпадают. Значит для всех ш 6 IV получаем тиНшдЛ = 1 (т.к. тиКдЛ = 1). Зафиксируем какой-нибудь ненулевой вектор vw веса и;Л в К(Л). Определим модули Дсмазюра в К(Л) следующим образом (см. [Б, Кит]):
К,(Л) = г/(0® С[і]) - гшЛ.
Эти модули можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию бесконечномерных пространств К(Л). Таким образом, изучение пространств КДЛ) важно как само по себе, так и для прояснения структры представлений аффинных алгебр. Отметим также, что модули Дсмазюра возникают в таких областях математической физики как теория решёточных моделей (см. [З М]) и теории представлений вертекс операторных алгебр (см. [Кас, Бо, РТБ, РР1]).
Основным средством изучения размерностей и характеров модулей Демазюра является теория Демазюровских кристаллов - комбинаторных объектов, нумерующих базисы в модулях Демазюра (см. [Ка2, КаЗ, КМОТШ, КМОТШ]). Одним из важнейших и интереснейших следствий этой теории является утверждение о том, что кристаллы для некоторых Демазюровских модулей являются тензорными произведениями других кристаллов (см. [ВЖТО, ЛММО]). В работах [Ба, М, РоЬ] также показано, что некоторые Демазюровские модули изоморфны тензорным произведениям неприводимых 0-модулей как представления 0. Всё это делает естественной гипотезу о том, что модули Демазюра могут быть построены как деформации тензорных произведений неприводимых представлений полуцростой алгебры (см. [РЬ]). Приведём здесь эту конструкцию.
Пусть Уь...,к - неприводимые представления алгебры Ли д, г, - старший вектор К', а Г! - набор попарно различных комплексных чисел. Обозначим через У(г.)
представление алгебры д 0 С[Е] в У, определяемое отображением
д 0 С[г] -¥ д, Хк х е д ,хк— х®1кВведём фильтрацию /у па тензорном произведении 0"=, И(х,):
А, = 8раи{х*,11) • • • хМ ■ (®Р=1и,), ^ Н V ар < х^ 6 д}.
Определим градуированное тензорное произведение (гтп) V] * ■ ■ • * Уп как присоединённый градуированный модуль относительно введённой фильтрации. Предположительно, градуированные тензорные произведения не зависят от параметров г,- и являются Де-мазюровскими модулями в некоторых интегрируемых д-модулях. Частпые случаи этой гипотезы доказаны в [Кеб, СЬ, РКЬ].
В нашей работе рассматривается случай д = Одпим из основных результатов является доказательство вышеприведённой гипотезы. Сформулируем точное утверждение для гтп, соответствующих Демазюровским модулям в неприводимых представлениях 5Е2.
Пусть - неприводимый 3(2-модуль со старшим вектором Vltk, удовлетворяющим
соотношениям
hoVl,k = Ь^к, КVI,к = кVI,к, (IV,'к = 0.
Здесь к - картаповский элемент в зЕг, СА' - центр 3(2, а <1 удовлетворяет соотношению [<Е, х;] = — гх;, х € зЕг- Рассмотрим элемент из группы Вейля 5Е2 длины 2р. Тогда
К,р(А(,ь) ~ 7Г( * Пк пк,

где nj - неприводимое (у + 1)-мерное представление 3(2. Мы также доказываем аналогичные утверждения для подмодулей тензорных произведений неприводимых зЕг-модулеи, порождённых произведением старших векторов.
Пусть теперь VI * — * К, некоторое гтп. Определим многообразие Шуберта зЧ1 1''„ как замыкание орбиты старшего вектора в проективизации гтп:
«Ч = —*И.), (1)

Теорема 2.4. Зафиксируем тип {й,-.-,ЙЬ й + ... + г5 = п. Для всех 4 = 1, ...,л — 1 существует О-эквивариаптное расслоение яЬр} —> з1т {|(11со слоем ,
отображающее [у{;ь.о [*>{|,+
Доказательство. Существует естественный Я эквивариантный сюръективный гомоморфизм
Ф< : кЦ;, ->
^А1н.-М^°А1н
= и(-п) ® н(-тг + й) ® ... ® и(-п + й + • • - + й) ® Фа0н1 ,}(*>.4{;,+1 ;,>)•
Мы хотим показать, что для всех х € 8Ь{,1+1 прообраз Ф^'(а:) изоморфеп яЬр,
Сначала докажем, что ФГ1([г,{»1+1—<»}]) — яЬ{ч ч)- Напомним, что
С[е,',+1 . .. , е„_х] • Н{,-, ~ М(2‘1-(!+1),,).
Получаем
ф< ЧИчи-о}]) = |ехр (^2;=1+1+ +{1 ■ Ги{*.г1 е С|
~ {ехР &'-1а +,‘ 1 ел) • ч}Ь*У еС} -
Таким же образом можно доказазть, что Ф^х) изоморфно вйр-, для любого х из
орбиты С • [у{,,+1 ,«,}]-
Напомним,что

®^Ч*'|+1г~= *»>]__|_| ^1(+1+—+>(4о({Й+1! - - • I й}).

Выберем а такое, что 1 < а < л — £ — 1. Пусть г)+а > 2. Заметим, что
Ф( : 8Ь{,,+1 1а-2 1а} х 8Ь{>'о+1 11 ®^{*1,—,*а—2,—у*} х ®Ь{«'в+1>.->|"«}
и для любого
X € -ЧП {», 2 1Я}1 у €: ‘■’Ь ||
имеем Ф^х х у) = Ф((аг) х у. Из того, что
Ф( : зЬ{,ь . “4 зЬ{,(+1>...1{<1_2,