Распознавание по спектру некоторых классов конечных простых групп

• Автор: Старолетов, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Введение

1 Основные определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения

1.2 Группы Фробениуса и их действие на векторных пространствах

1.3 Распознавание по спектру

2 Группы, изоспектральные знакопеременной группе степени

2.1 Предварительные сведения

2.2 Доказательство теоремы

2.3 Доказательство теоремы

3 Спорадические факторы

3.1 Предварительные сведения
3.2 Доказательство теоремы
3.3 Доказательство теоремы
4 Распознавание групп Вз(д), Сз(д) и ЛДд)
4.1 Предварительные сведения
4.2 Доказательство теорем 4.1 и
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Конечные группы обладают различными числовыми характеристиками, примерами могут служить порядок группы, порядки элементов, размеры централизаторов элементов. Нетрудно заметить, что групп фиксированного порядка существует лишь конечное число, поэтому естественно ожидать, что знание тех или иных числовых величин группы позволяет получить существенную информацию о ней. В частности, недавно A.B. Васильев, М.А. Гречкосеева, В.Д. Мазуров показали, что порядок группы в совокупности с множеством порядков элементов группы с точностью до изоморфизма определяет любую конечную простую группу в классе всех конечных групп [11].
Для произвольной конечной группы G спектром называется множество порядков элементов группы G, обозначается это множество через ui(G). Две группы, имеющие одинаковый спектр, называются изоспектралъными. Пусть h(G) — это число попарно неизоморфных конечных групп, изоспектральпых группе G. Конечная группа G называется распознаваемой по спектру (кратко распознаваемой), если h(G) = 1. Другими словами, группа G распознаваема, если для любой конечной группы Я равенство ш(Н) = w(G) влечет изоморфизм Я ~ G. Если h(G) < оо, то G называется почти распознаваемой по спектру. Наконец, группа G называется нераспознаваемой по спектру, если h(G) = оо. Говорят, что для группы G решена проблема распознавания, если найдено значение числа h(G) и в случае конечности h(G) указаны все группы, изоспектральные группе G.
К первым работам, посвященным изучению спектра как определяющего множества для тех или иных конечных групп, можно отнести работы Г. Хигмана [43],

Введение

М.Сузуки [55] и Р. Брандла [32], описавшие группы, в спектре которых присутствуют только степени простых чисел (такие группы называются ЕРРО-группами), а также работы В. Ши, посвященные распознаваемости по спектру знакопеременной группы степени 5 и группы Р5Бг(7) [51], [52]. Позже Ши сформулировал общую проблему распознавания по спектру для конечных простых групп, которая на протяжении 30 лет привлекает внимание исследователей, но до сих пор полностью не решена (см. обзоры [29], [47], [42]). Отметим, что простые группы неслучайно представляют основной интерес с точки зрения проблемы распознавания по спектру, это объясняется тем, что в [53] Ши показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, обязательно нераспознаваема (строгое доказательство этого утверждения опубликовано Мазуровым в [26]), в частности, все разрешимые группы нераспознаваемы.
Далее для конечных простых неабелевых групп будут использоваться следующие обозначения: знакопеременная группа степени п обозначается через АНп, спорадические простые группы и простые исключительные группы лиева типа обозначаются в соответствии с «Атласом конечных простых групп» [36]. Для классических групп в случае ортогональных и симлектических используется лиева нотация, в то время как для линейных и унитарных групп используются их матричные обозначения, а именно простая линейная группа Р5Дп(д) обозначается через £„(?), простая унитарная группа Р3ип{д) через 11п(д). Кроме того, симметрическая группа степени п обозначается через Зутп.
Важную роль при решении проблемы распознавания для группы С? играет так называемый граф простых чисел ОК{С). Другое его название — граф Грюнбрега-Кегеля. Множество вершин этого графа совпадает с множеством простых делителей порядка группы С, две вершины, соответствующие двум различным простым числам р и д, соединены ребром тогда и только тогда, когда рд 6 ш(б'). Заметим, что по аналогии с задачей распознавания группы по спектру можно сформулировать задачу распознавания группы по графу простых чисел. Поскольку граф простых чисел группы Є полностью определяется по спектру, то распознаваемая по графу группа будет распознаваемой и по спектру. Обратное неверно, графы
Глава 2. Группы, изоспектральные знакопеременной группе степени

тов порядка 4, поэтому в N силовская 2-подгруппа Р — цикличекская порядка 4. Значит, Р имеет нормальное дополнение в N, если профакторизовать по этому дополнению, получаем, что Alt$ действует на Р. У группы Р группа автоморфизмов абелева, следовательно, это действие может быть только тривиальным, и G содержит элемент порядка 20, противоречие. Это означает, что G/N = Symy„ силовская 2-подгруппа в N порождается инволюцией {t), и N обладает нормальным 2-дополнением А. Пусть С — Cc(t). Понятно, что G = АС, = А П С — является 3-группой, С/А0 ~ 2.Sym*, и поэтому Sym5 действует на А0. Если А0 ф 1, то элемент х порядка 5 из Бугпъ действует на Ао без неподвижных точек, и поэтому элемент порядка 4 из Nsym5({x)) централизует в А0 нетривиальный элемент. Это означает, что в G есть элемент порядка 24, противоречие. Поэтому Ао = 1, t инвертирует А к А абелева. Лемма, а вместе с ней и теорема 2.2 доказаны.