Связь явного закона взаимности Ивасавы с явными формулами куммерова типа

• Автор: Зиновьев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 63 с.

Содержание
1 Введение

2 Обзор многомерных полных полей и топологических К-

групп Милнора

2.1 Многомерные полные ПОЛЯ

2.2 Топология Паршина на многомерном полном поле

2.3 Топология Паршина на мультипликативной группе

2.4 Топологические Й'-группы Милнора

3 Обобщенный символ Гильберта и явное спаривание Востокова

3.1 Функция Артина-Хассе и модуль кривых Картье

3.2 Примарные элементы

3.3 Обобщенный символ Гильберта
3.4 Явное спаривание Востокова
4 Вспомогательные утверждения
5 Обобщенные формулы Артина—Хассе и Ивасавы в случае
смешанной характеристики
5.1 Многомерный аналог кругового поля в случае смешанной
характеристики
5.2 Обобщенный след
5.3 Обобщенные формулы Артина-Хассе в случае смешанной
характеристики
5.4 Многомерная логарифмическая производная
5.5 Обобщенная формула Ивасавы в случае смешанной характеристики
6 Обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы в случае
сЬаг(АГ) = <йих(К)
6.1 Обобщенные формулы Артина-Хассе
6.2 Обобщенная формула Ивасавы

1 Введение
Диссертационная работа посвящена выводу явных формул типа Артина-Хассе для обобщенного символа Гильберта и изучению их связи с явными формулами куммерова типа. Исторически сложилось два относительно независимых подхода к задаче нахождения явного вида спаривания Гильберта. Первый из них восходит к работе Э. Артина и Г. Хассе [15] (1928), в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы [21] (1968) в круговом случае и Ш.Сена [25] (1980) в общем случае. Мы называем явные законы взаимности, полученные в этом направлении, формулами типа Артина-Хассе. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафаревичем в [14] (1950). Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направлении были независимо получены С. В. Востоковым в [3] (1978) и Г. Брюкнером в [16], [17] (1979). Явные законы взаимности этого типа выражают символ через вычет некоторого степенного ряда. Мы условно называем их формулами куммерова типа, так как в одном частном случае их вид аналогичен виду формулы, полученной Кумме-ром в XIX веке. Надо отметить, что формулы этих двух типов имеют разные области приложения. Так, формулы Брюкнера-Востокова хорошо применимы в явных конструкциях локальной теории полей классов и Й"-групп Милнора локальных полей, в то время как формулы в стиле Артина-Хассе удобно использовать в вопросах, связанных с норменными отображениями. Связь между двумя данными подходами к явным формулам долгое время оставалась неясной. Лишь в 1994 г. П. Кельне в своей диссертационной работе [23] вывел для классического символа Гильберта на круговом расширении О1,, из формулы Брюкнера-Востокова формулу смешанного типа, из которой следуют классические законы взаимности Артина-Хассе и Ивасавы.
В конце семидесятых А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. В работе А. Н. Паршина [12] в равнохарактеристическом случае и в работах К. Като [22] в общем случае была развита высшая локальная теория полей классов и, в частности, построено локальное отображение взаимности для многомерных локальных полей. С помощью этого отображения взаимности естественно определяется обобщенный символ Гильберта. В [4] (1985) С. В. Востоковым была решена задача явного вычисления данного спаривания. В этой работе С. В. Востоков строит явное спаривание между топологической К-группой Милнора и мультипликативной группой мно-

гомерного локального поля смешанной характеристики при р ф 2 (где р - характеристики последнего поля вычетов, которое предполагается конечным) и доказывает, что оно совпадает с символом Гильберта, тем самым давая для него явную формулу куммерова типа. В [24] (1998) М. Курихара вывел многомерную формулу типа Артина-Хассе для спаривания Гильберта в случае многомерного локального поля смешанной характеристики (последнее поле вычетов которого предполагается конечным), которая обобщает явную формулу Сена.
Следующим шагом в развитии локальной теории полей классов стал естественный переход от изучения многомерных локальных полей, имеющих конечное последнее поле вычетов, к рассмотрению многомерных полных полей, последнее поле вычетов которых предполагается совершенным простой характеристики. Используя метод Нойкирха, И. Б. Фе-сенко в работе [18] построил высшую локальную теорию полей р-классов, которая описывает абелевы вполне разветвленные р-расширения многомерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое дополнительно предполагается не алгебраически р-замкнутым. С помощью локального отображения взаимности, построенного в этой теории, И. Б. Фесенко определил обобщенный символ Гильберта для многомерных полных полей нулевой характеристики в наиболее общем случае. Задача его явного вычисления была решена С. В. Востоковым, который построил явное спаривание на топологических А-группах Милнора многомерных полных полей в работах [5], [6] (1995) для р ф 2 и в [6] показал, что оно совпадает с символом Гильберта. Случай р = 2 рассмотрен в [1] (2001).
В настоящей диссертации рассматривается обобщенный символ Гильберта, определение которого дано в теории Фесенко, в случае кругового расширения стандартного абсолютно неразветвленного п-мерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое предполагается не алгебраически р-замкнутым. В этом случае при р ф 2 мы выводим из явной формулы Востокова, доказанной в [6], обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы. Данный метод проясняет связь между двумя типами явных законов взаимности. Формулы, полученные в настоящей диссертации, могут найти интересные применения, в частности, в вопросах, связанных с иорменными отображениями в наиболее общем случае многомерных полных полей.
В разделе 2 мы представляем обзор основных определений и фактов, связанных с многомерными полными полями и топологическими А-группами Милнора. Обозначения, введенные в разделе 2, используются на протяжении всей диссертации без каких-либо дополнительных ссылок. Мы напоминаем определение топологии Паршина на многомер-

Проверим (5.4). Обозначим через 0ка/к0 дифференту расширения К0/к0. С помощью критерия дифференты нетрудно показать, что
(5.5) = (рП^кС
Так как К - полное дискретно нормированное поле характеристики О с полем вычетов характеристики р и его абсолютный индекс ветвления ек = рт_1(р — 1), log и ехр устанавливают взаимно обратные Ър-изоморфизмы между Ui<{pm~1 + 1) и Рк(рт-1 + 1). Поэтому log а Є РкІР-1 + 1) для а Є 11к(рт~' + 1). Отсюда £ log а Є Рк(рТп~1)- Значит, по лемме 5.1, п. 3) ск/Ко{ l°Sa) € 9Л^-о , откуда
Утверждение (5.3) проверяется аналогично.
Доказательство теоремы 5.1. Докажем (5.2). По теореме 3.1 достаточно убедиться, что для а 6 Нд(рт_1 + 1)
(5.6) !vlj ^(-l)n+1^rfiJf/i(,^loga^ .
I. В силу свойств явного спаривания Востокова левая часть (5.6) мультипликативна и секвенциально непрерывна по а. Считаем, что группа Пт наделяется фактор-топологией через изоморфизм Qm ~ о0/(рт0о+ р(о0)) (см. следствие 3.1). Эта топология, очевидно, дискретна.
Правая часть (5.6), очевидно, мультипликативна по а. По лемме 2.1 log : Uk( 1) —» К секвенциально непрерывен. Как было отмечено в 5.2, отображение Як/ko непрерывно. Отсюда мгновенно следует, что правая часть (5.6) секвенциально непрерывна по а.
Поэтому достаточно доказать (5.6) для топологических образующих иДр-1 + 1). В качестве системы топологических образующих возьмем семейство {£(01“'.. • C-lI^“")}ee95,a„>pm-1+i (СМ‘ замечание 2.4).
II. Пусть а = £(01“’... CLl‘Ae"), где в € 91 и а„ ^ pm_1 +1. Вычислим ({а, ti,..., А)т. В качестве разложений элементов a, t, ..., i, А в ряды Лорана по локальным параметрам выберем а(Х,..., Хп) = £(вХ“1 ...Х%') = Е(вХ“1 ...Х*>), так как в G 94, t_^Xu..., Хп) = Хи 1 < г ^ п — 1 и A(ATi,..., Хп) = Хп. Тогда по определению явного спаривания