О наследуемости Холлова свойства Dπ подгруппами

• Автор: Манзаева, Номина Чингизовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные результаты

§ 1.1. Используемые обозначения и известные леммы

§ 1.2. Известные результаты о холловых свойствах

§ 1.3. Предварительные результаты о классах £7^-, Иг и УИ

Глава 2. Свойства классов 1АЖ, Иг и УН

§ 2.1. Критерий принадлежности классам И- и УН

§ 2.2. О включениях Ыж 2 Иг и И- 2 УИ

Глава 3. Знакопеременные и спорадические группы

§ 3.1. Вспомогательные результаты
§ 3.2. Основные результаты главы
Глава 4. Группы лиева типа. Случай р е тт
§ 4.1. Известные результаты
§ 4.2. Доказательство теоремы 4.2.1
Глава 5. Группы лиева типа. Случай 2 е тт, р $ тт
§ 5.1. Вспомогательные результаты
§ 5.2. Доказательство теоремы 5.2.1
Глава 6. Группы лиева типа. Случай 2, р $ тт
§ 6.1. Известные результаты
§ 6.2. Доказательство теоремы 6.2.1
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
В 1872 г. норвежским математиком Л. Силовом [40] была доказана следующая теорема.
Теорема (Л. Силов). Пусть порядок конечной группы Є равен ра ■ т, где число р простое, а т не делится на р. Тогда справедливы следующие утверждения.
(£) Группа О содержит по крайней мере одну подгруппу порядкарп (т.н. силовскую р-подгруппу).
{С) Любые две силовские р-подгруппы сопряо/сены.
(V) Всякая р-подгруппа группы С содержится в некоторой силовской р-подгруппе.
По мнению специалистов теорема Силова является краеугольным камнем теории конечных групп (см., например, [5]). В теории конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф. Холла и С. А. Чунихи-на [10-13,20-22]. В 1928 г. Ф. Холл предложил вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект - ^-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, 7Г-холловы подгруппы. Напомним определение. Пусть 7Г — некоторое множество простых чисел. Через 7г' будем обозначать множество всех простых чисел, не лежащих В 7Г, через 7г(п) — множество всех простых делителей натурального числа п, а для конечной группы С через 7г(б?) — множество 7г(|б?|). Натуральное число гс, для которого 7г(п) с 7г, называется ^-числом, а группа (2, для которой тг(С) £4 7г, называется 7г-группой.
Введение

Подгруппа Н группы (7 называется тт-холловой подгруппой, если Н является 7г-группой и 7г(|С : Н|) с 7г'. Таким образом, если я = {р}, то 7Г-холлова подгруппа “ это в точности силовская р-подгруппа. Также Ф. Холл [20] доказал полный аналог теоремы Силова для 7г-подгруип в разрешимых конечных группах.
Теорема (Ф. Холл). Пусть конечная группа Л разрешима. Тогда для любого множества тт простых чисел справедливы следующие утверждения.
(£) Группа (7 содержит по крайней мере одну ж-холлову подгруппу.
(С) Любые две 7Г-холловы подгруппы сопряжены.
(Х>) Всякая п-подгруппа группы (7 содержится в некоторой ж-холловой подгруппе.
Для неразрешимых групп теорема Холла неверна. Существуют множество 7Г простых чисел и конечная группа (7, для которых утверждения (£), (С) или (V) теоремы Холла неверны. Так, знакопеременная группа А5 не содержит (3, 5}-холловых подгрупп. Полная линейная группа СЬ3(2) обладает двумя классами сопряжённых {2,3}-холловых подгрупп. В группе Л 5 все {2, 3}-холловы подгруппы сопряжены и изоморфны группе А. При этом группа А5 содержит подгруппу порядка 6, а в группе А4 нет подгрупп данного порядка.
В соответствии с утверждениями (£),(С) и (Т>) теоремы Силова и теоремы Холла, в 1956 г. Ф. Холл [22] ввел следующие обозначения для конечных групп. Будем говорить, что группа <7 обладает свойством £'ж, если в (7 имеется 7г-холлова подгруппа. Если при этом любые две 7г-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа С обладает свойством Сп. Если, К ТОМу ЖЄ, Любая 7Г-ПОДГруППа ГруППЫ (7 СОДержИТСЯ В НеКОТОрОЙ 7Г-ХОЛЛОВОЙ подгруппе, то будем говорить, что группа (7 обладает свойством XV Группу со свойством £ж (С„, Т>ж) будем называть также £ж- (соответственно, Сж~, XV) группой. Для данного множества 7г обозначим через £ж, Сп и Т>п классы всех £ж-, Сж и Х^-групп соответственно. Таким образом, запись О є Т>ж означает,
§ 3.2. Основные результаты главы

Таблица 2. Спорадические группы, принадлежащие классу IV,,
С ТГ П тг(б') ! Ми {5,11} 5- 11 О'ДГ {5,11} 5 ■
М12 {5,11} 5- 11 {5,31}
М22 {5,11} 5 11 Яи {7,29}
М23 {5,11} 5- 11 Ьу {11,67} 11
{11,23} 11 ■23 С01 {11,23} 11
М24 {5,11} 5- 11 Со2 {11,23} 11
{11,23} 11 •23 Соз {11,23} 11
■А {3,7} 3 • 7 Еггз {11,23} 11
{3,19} 3 19 ^24 {11,23} 11
{5,11} 5 11 F2 {11,23} 11
{23,47} 23
У {5,11} 5 ■ II3 Ах {23,47} 23
{5,31} 5 31 {29,59} 29
{7,29} 7
{7,43} 7
Доказательство. Так как группа С обладает свойством ТУ, из леммы
1.2.8 следует, что пара (С, тг) удовлетворяет одному из условий I или II. Если пара ((?, тг) удовлетворяет условию I, то, очевидно, С е Теперь рассмотрим случай, когда (б?, л) удовлетворяет условию II. Ввиду условия II и леммы 3.1.1 в классе лежит любая спорадическая простая группа, обладающая свойством за исключением, возможно, группы